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Der Wert eines Calls muss also mindestens der Differenz
zwischen gegenwärtigem Aktienkurs und diskontiertem Basispreis entsprechen. Die
Handelsstrategie, die von der Verletzung dieser so genannten europäischen Wertuntergrenze profitiert,
besteht aus dem Kauf eines Calls, dem Verkauf der zugrundeliegenden Aktie, und
der risikolosen Anlage des diskontierten Basispreises. Dieses Portefeuille wird
bis zum Verfalltag der Option gehalten und dann liquidiert. Dazu wird die Aktie
zum Preis von ST zurückgekauft, um das ursprüngliche
Aktienportefeuille wiederherzustellen bzw. eine geliehene Aktie an den
Verleiher zurückgeben zu können. Falls sich der Call im Geld befindet, d.h.
falls ST > K gilt, wird der Call ausgeübt und
erbringt den Nettoerlös ST – K > 0. Andernfalls
verfällt der Call wertlos. Die Liquidation der risikofreien Finanzanlage
erbringt dagegen in beiden Fällen den Erlös K. Abb. 1 ist nun zu entnehmen,
dass neben dem sicheren Arbitragegewinn ε > 0 im Zeitpunkt t = 0, diese
Strategie in t = T zudem noch die Zahlung K – ST > 0 verspricht, falls der Aktienkurs den
Basispreis nicht übersteigt.
Abb. 1: Profitable Zeitarbitrage bei Verletzung der
europäischen Wertuntergrenze
Bei positiven
Zinssätzen folgt aus der europäischen Wertuntergrenze, dass sich die Ausübung
eines amerikanischen Calls auf eine dividendenlose Aktie vor dem Verfalltag niemals lohnt. Der vor dem Verfalltag erzielbare
Marktpreis wird nämlich den aktuellen Ausübungswert S-K, sofern dieser positiv
ist, immer übersteigen. Bei einem erwarteten Aktienkursrückgang wird folglich
der rational handelnde Besitzer eines Calls den Verkauf des Calls seiner
Ausübung vorziehen.
2. Eine Wertuntergrenze für Puts
Die Kombination aus Aktie und europäischem Put mit Basispreis
K und Restlaufzeit T besitzt am Verfalltag des Puts das Liquidationswertprofil
ST + max (0, K – ST) = max(ST, K). Dasselbe Profil liefert die
Kombination eines ansonsten identischen Calls mit einer Finanzanlage mit der
Laufzeit T und der Rückzahlung K: max (0, ST – K) + K = max (ST, K). Die Forderung, dass in
arbitragefreien Märkten auch die Gegenwartswerte dieser äquivalenten
Portefeuilles übereinstimmen müssen, S + P = C + K R – T, führt dann auf die praktisch
bedeutsame Put-Call-Parität für
Optionen vom europäischen Typ (Stoll, H.
1969):
Merton verallgemeinert dieses Ergebnis für Optionen vom amerikanischen Typ, indem er das
=-Zeichen durch ein ≥-Zeichen in Beziehung (2) ersetzt:
Diese Modifikation kann ökonomisch wie folgt begründet
werden. Zum einen sollte, wie bereits festgestellt, ein Call vom amerikanischen
Typ nicht vorzeitig (d.h. vor dem Verfalltag) ausgeübt werden. Daher wird der
Wert eines Calls vom amerikanischen Typ sich nicht vom Wert eines ansonsten
identischen Calls vom europäischen Typ unterscheiden. Andererseits besteht bei
Puts vom amerikanischen Typ immer eine positive Wahrscheinlichkeit für die
Vorteilhaftigkeit ihrer vorzeitigen Ausübung. Man denke etwa an die Situation
eines extremen Kursverfalls der zugrundeliegenden Aktie. Spätestens dann, wenn
die Aktie wertlos ist, also der Ausübungswert sein Maximum erreicht hat, sollte
der Put ausgeübt werden, um Opportunitätskosten in Form von entgangenen Zinsen
auf den Ausübungswert zu vermeiden. Ein Put vom amerikanischen Typ ist also
wertvoller als ein ansonsten identischer Put vom europäischen Typ.
III. Duplikationsmodelle
1. Black/Scholes-Modell für Aktienoptionen
Die Festlegung eines absoluten Modell- bzw. Zeitwertes für
Aktienoptionen erfordert zusätzliche Annahmen über die zukünftige
Aktienkursentwicklung, d.h. über die Wahrscheinlichkeitsverteilung zukünftiger
Aktienkurse. Auf der Basis der recht einfachen binomialen Verteilungshypothese
soll nun im folgenden das dem Black/Scholes-Modell (BSM) zugrundeliegende
Duplikationsprinzip erklärt werden (Cox, /Ross,
/Rubinstein, 1979).
a) Binomiale Approximation für Calls
Angenommen Aktie und Call können nur zum Bewertungszeitpunkt und
am Verfalltag gehandelt werden. Alle Marktteilnehmer stimmen darin überein,
dass bis zum Verfalltag einer Option der aktuelle Kurs der Aktie S entweder auf
den Wert Su ≡ U · S steigt oder auf den Wert Sd ≡ D · S fällt. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit der eine oder der andere Fall eintritt, spielt bei der
weiteren Betrachtung keine Rolle. Der Gegenwartswert der Optionen hängt dann
(bei gegebenem Diskontierungsfaktor) jeweils nur von den zwei Ausübungswerten Cu ≡ max{0, Su – K} und Cd ≡ max{0, Sd – K} ab, deren Wert wiederum vom
Aktienkurs am Verfalltag abhängt. Das Ausübungswertprofil des Calls lässt sich
durch das Liquidationswertprofil einer teilweise kreditfinanzierten Aktienanlage exakt duplizieren.
Technisch gesprochen existiert also immer ein Duplikationsportefeuille
aus αS Aktien und αB Nullkupon-Anleihen (αB < 0 entspricht einer Kreditaufnahme),
dessen Liquidationswertprofil am Periodenende mit dem des Calls übereinstimmt.
Besitzt die Null-Kuponanleihe den gegenwärtigem Kurswert 1 und den
Rückzahlungsbetrag r > 1, dann wählt man αS und αB derart, dass sowohl αS Su + αB R = Cu als auch αS Sd + αB R = Cd gilt. Es ergibt sich folgende
Duplikationsstrategie:
αS wird dabei als
Hedge-Kennzahl (\'Delta\') bezeichnet. In arbitragefreien Finanzmärkten muss nun
der Gegenwartswert des Duplikationsportefeuilles mit dem des Calls
übereinstimmen:
Mit der Vereinbarung p ≡ (R – D)/(U – D) und daher
(1 – p) ≡ (U – R)/(U – D) gilt schließlich für den Wert des Calls
An einem Beispiel soll das hinter der Bewertungsformel (6)
stehende Duplikationsprinzip noch erläutert werden. Zu bewerten sei ein Call
auf eine Aktie, deren Kurswert am Periodenende bzw. am Fälligkeitstag des Calls
entweder den Wert Su = 240 oder den Wert Sd = 160 annehmen kann. Beträgt der aktuelle
Kurswert der Aktie S = 200 und verzinst sich eine risikofreie Finanzanlage mit
10% in der betrachteten Periode, dann gilt p = 0,75 und 1 – p = 0,25 wegen R =
1,10, U = 1,20 und D = 0,80. Bei einem Basispreis von K =
200 gilt für den Ausübungswert des Calls Cu = 40 bzw. Cd = 0 und folglich für den aktuellen Modellwert
C = 27,27. Falls der beobachtete Callpreis diesen Modellwert übersteigt, dann
ist die in Abb. 2 dargestellte Arbitragestrategie profitabel. Falls dagegen der
Modellwert den Callpreis übersteigt, so ist die entsprechende Umkehrung dieser
Strategie profitabel.
Abb. 2: Profitable Zeitarbitrage falls der Callpreis seinen
Modellwert übersteigt
In arbitragefreien Finanzmärkten müssen die Parameter p und
(1 – p) zwischen 0 und 1 liegen und können damit als Wahrscheinlichkeiten
interpretiert werden. In einem formalen Sinne entspricht dann der Wert des
Calls dem diskontierten Erwartungswert des Ausübungswertes des Calls am
Verfalltag:
Die p entsprechende Verteilung wird deswegen auch
risikoneutrale Verteilung genannt. Dies bedeutet allerdings nicht, dass die
Optionsbewertung unter der Annahme der Risikoneutralität der Marktteilnehmer
erfolgt, da die beschriebene Erwartungswertbildung eben auf der Basis der
risikoneutralen Verteilung – die nicht mit der tatsächlichen übereinstimmen
muss – erfolgt: Der Call wird also nur so bewertet, als ob die Marktteilnehmer risikoneutral
wären. Aufgrund der benutzten Arbitrage- und Duplikationsargumente ist dieser
Ansatz auch bei beliebig anderen Präferenzen der Marktteilnehmer (sofern diese
mit der Arbitragefreiheit des Finanzmarktes verträglich sind) gültig. Man
spricht bei p auch von einem äquivalenten Martingalmaß (Jarrow,
R./Turnbull, S. 1996). Für einen viel allgemeineren Modellrahmen
beweisen Harrison und Pliska (Harrison,
J./Pliska, S. 1981) die folgende Aussage: die Existenz eines
äquivalenten Martingalmaßes ist (im Wesentlichen) äquivalent zur
Arbitragefreiheit des Finanzmarktes; seine Eindeutigkeit ist äquivalent zur
Möglichkeit, jede Option durch Duplikation zu bewerten. Letzteres ist
beispielsweise nicht möglich, wenn im vorangehenden Beispiel drei mögliche
Aktienkurse am Verfalltag zugelassen werden.
b) Dynamische Duplikationsstrategie
Unterstellt man nun n Teilperioden bzw. n + 1
Handelszeitpunkte bis zum Verfalltag, wobei zwischen benachbarten Handelszeitpunkten
entweder ein Kursanstieg oder ein Kursrückgang mit konstanter prozentualer Höhe
zugelassen wird, dann gibt es zum k-ten Handelszeitpunkt genau k mögliche
Aktienkurse. Ausgehend von den n + 1 möglichen Ausübungswerten am Verfalltag
können dann für die n möglichen Aktienkurse am vorletzten Handelszeitpunkt die
zugehörigen Callwerte durch n-fache Anwendung der Bewertungsformel (6) bestimmt
werden. Die retrograde Anwendung dieses Bewertungsschemas führt dann
schließlich zur Bewertungsformel:
wobei der ganzzahlige Parameter a so bestimmt ist, dass für k
≥ a Kursanstiege während der Laufzeit die Kaufoption im Geld endet,
d.h. Uk Dn-k S-K > 0 für k = a, ?, n gilt. In
Übereinstimmung mit dem Einperiodenfall ist der Betrag C genau der
Eigenmitteleinsatz, der benötigt wird, um das Ausübungswertprofil des Calls
durch einen teilweise kreditfinanzierten Aktienkauf zu duplizieren. Im
Unterschied zum Einperiodenfall muss jedoch zu jedem Handelszeitpunkt vor dem
Verfalltag der Bestand an Aktien und Nullkupon-Anleihen im
Duplikationsportefeuille durch Kauf oder Verkauf in Abhängigkeit der
Aktienkursentwicklung angepasst
werden. Diese Umschichtungsstrategie wird selbstfinanzierend genannt, weil ein
Aktienkauf durch einen entsprechenden Verkauf von Nullkupon-Anleihen (und
umgekehrt) finanziert wird (siehe Trautmann, 2006).
c) Black/Scholes Formel für Calls
Fischer Black und Myron Scholes legen ihrem Modell einen
stetigen Aktienkursverlauf mit konstanter Renditevolatilität zugrunde.
Aktienkursrenditen sind normalverteilt mit dem annualisierten Mittelwert μ
und der annualisierten Standardabweichung σ, auch Volatilität genannt. Sie
zeigen, dass bei einer zeitstetigen Anpassung des Duplikationsportefeuilles der
Callwert einer analytisch lösbaren partiellen Differentialgleichung genügt.
Wählt man nun in Formel (8) R = exp(rT/n), U = exp(∼ 
)
und D = exp(∼ – 
),
dann erhält man für n →∞ ebenfalls die Black/Scholes-Formel für
Calls vom europäischen Typ:
wobei d = (ln(S/K) + (r + 0,5 σ2) T)/ 
.
Neben den bereits eingeführten Symbolen bezeichnet in der Formel N(·) die
Verteilungsfunktion einer standard-normalverteilten Zufallsvariablen und r =
lnR die zeitstetige Verzinsungsrate.
Der durch Gleichung (9) gegebene Wert eines Calls kann
intuitiv interpretiert werden als die gewichtete Differenz zwischen Aktienkurs
und Barwert des Basispreises, wobei die Gewichte N(d) und N(d- 
Werte
zwischen null und eins annehmen können. Im Falle einer weit aus dem Geld
notierenden Option (d.h. S ist viel kleiner als K) ist der Call beinahe
wertlos, weil beide Gewichte nahe bei null liegen. Ist die Option hingegen tief
im Geld (d.h. S ist viel größer als K), so nehmen beide Gewicht Werte nahe eins
an, und der Wert der Option entspricht in etwa der europäischen Wertuntergrenze
(1).
Der Wert eines Calls hängt gemäß der Black/Scholes Formel (9)
von den folgenden fünf Parametern ab: dem aktuellen Aktienkurs S, dem
Basispreis K, der Restlaufzeit T, der Verzinsungsrate für eine risikolose
Anlage r und der zukünftigen Volatilität
σ der zugrundeliegenden Aktie. Lediglich der letzte der genannten
Parameter ist nicht direkt beobachtbar. Überraschenderweise hängt der Wert
eines Calls nicht direkt von der erwarteten Aktienrendite ab. Diese hat über
den beobachteten Aktienkurs nur einen indirekten Einfluss auf den Optionswert.
Dies ist wohl der wesentliche Grund für die breite Akzeptanz dieses
Bewertungsmodells in Theorie und Praxis.
Der Volatilitätsparameter kann prinzipiell auf zweierlei
Arten geschätzt werden: auf der Basis der historischen Volatilität der
zugrundeliegenden Aktie oder auf der Basis der so genannten impliziten
Volatilität. Letztere wird durch die Gleichsetzung von Black/Scholes-Formel und
Marktpreis mit anschließender (numerischer) Auflösung der Gleichung nach dem
Volatilitätsparameter bestimmt.
d) Bewertung amerikanischer Puts
Bei Kenntnis des Callwerts lässt sich der Wert eines europäischen Puts mittels der
Put-Call-Parität einfach bestimmen. Die Bewertung eines amerikanischen Puts muss dagegen derart erfolgen, dass der Putwert
in jedem Zeitpunkt und für jeden Aktienkurs den entsprechenden Ausübungswert
nicht unterschreitet. Da für dieses Problem bis heute keine analytische Lösung bekannt ist, begnügt
man sich mit approximativen, analytischen Lösungen bzw. verwendet numerische
Lösungsansätze. Letztere basieren z.B. auf dem Binomialmodell für Puts oder
lösen die partielle Differentialgleichung für den Put numerisch (Hull, J.
1997; Stoll,
H.R./Whaley, R.E. 1993).
2. Alternative Bewertungsmodelle für
Aktienoptionen
Im BSM besitzen Aktienkurse stetige Kursrealisierungen mit konstanter
Volatilität. Ferner ist die Verzinsung von insolvenzrisikofreien Anlagen konstant und es gibt keine Dividenden und keine Transaktionskosten. Eine Reihe von
Modellvarianten heben diese restriktiven Annahmen auf. So wurden Aktienkursprozesse
mit zufälliger Volatilität mit und
ohne Kurssprünge betrachtet. Solange über infinitesimal kleine Zeitspannen
Änderungen der Volatilität mit Änderungen des Aktienkurses perfekt korreliert sind (perfekte Momentankorrelation), kann auch
bei diesen Modellvarianten das Duplikationsprinzip zur Anwendung gelangen. Dies
ist dann der Fall, wenn die Volatilität eine deterministische Funktion des
Aktienkurses ist, wie dies im constant elasticity of variance model von Cox und Ross (Cox, J./Ross,
S. 1976) unterstellt wird. Eine negative Elastizität motiviert Geske (Geske, R.
1979) in seinem compound option model mit einem Kapitalstrukturargument,
während Rubinstein in seinem
displaced diffusion model (Cox,
/Rubinstein, 1985) eine positive Elastizität mit einem
Vermögensstrukturargument begründet.
Stochastische Änderungen der zeitstetigen Verzinsungsrate wurden
bereits in einer frühen Modellvariante von Merton
(Merton, 1973)
zugelassen. Zu diskreten Zeitpunkten anfallende Dividenden konnten zunächst nur
im Rahmen numerischer Ansätze berücksichtigt werden. Mittlerweile stehen auch
approximative Bewertungsformeln zur Verfügung (Stoll,
H.R./Whaley, R.E. 1993). Die modellmäßige Erfassung von
Transaktionskosten gelingt Boyle und Vorst (Boyle,
P./Vorst, T. 1992) in einem zeitdiskreten Modell. Diese führt zu
einer oberen bzw. unteren Wertgrenze durch die transaktionskostenabhängige
Anpassung des Volatilitätsparameters.
3. Bewertungsmodelle für sonstige Finanztitel
Die Übertragung des BSM erfolgte auf eine Vielzahl anderer
Instrumente. Bei der Bewertung europäischer
Optionen auf Devisen und Futures sind nur geringfügige
Modifikationen erforderlich. Für entsprechende Optionen vom amerikanischen Typ, deren frühzeitige
Ausübung auch im Fall von Calls jederzeit lohnenswert sein kann, stehen
approximative Formeln zur Verfügung (Stoll,
H.R./Whaley, R.E. 1993).
Im Zusammenhang mit der Bewertung von Optionen auf eine Anleihe liegt es nahe, nach dem Vorbild
des BSM für Aktienoptionen, diese auf der Grundlage der stochastischen
Entwicklung des Anleihenkurses zu bewerten. Eine konsistente Bewertung von Zinsoptionen kann jedoch nur über die arbitragefreie Modellierung der
Entwicklung zukünftiger Zinsstrukturen
erfolgen. Zudem sollte es möglich sein, diese ausgehend von der aktuell
beobachtbaren Zinsstrukturkurve zu modellieren. Die älteren Ansätze zur
Charakterisierung des stochastischen Übergangsverhaltens von Zinsstrukturkurven
verletzen die zweite Forderung und führen zu Bewertungsbeziehungen, in denen
zudem explizit präferenzabhängige Parameter enthalten sind. Die von Heath, Jarrow, Morton (Heath,
J./Jarrow, R./Morton, A. 1992) vorgeschlagene Modellklasse umfasst
Modelle, die beide Bedingungen erfüllen (z.B. Ho, T./Lee,
S. 1986; Hull,
J./White, A. 1990; Miltersen,
K.R./Sandmann, K./Sondermann, D. 1997).
In ihrer bahnbrechenden Arbeit weisen Black und Scholes bereits
darauf hin, dass auch optionsähnliche
Ansprüche mit ihrer Methode bewertet werden können. Dazu zählen
insbesondere alle Formen des Eigen- und Fremdkapitals einer Unternehmung, die als
Optionen oder Portefeuilles von Optionen auf das Vermögen einer Unternehmung
aufgefasst werden können. Die Nichtbeobachtbarkeit der Vermögensrendite
erschwert jedoch sehr oft die direkte Anwendung des BSM auf der Basis
historischer Volatilitäten (Schulz,
G.U./Trautmann, S. 1994).
IV. Gleichgewichts- und
sonstige Modelle
Das Duplikationsprinzip versagt, wenn mehrere exogene
Risikoquellen existieren. Dies ist z.B. der Fall, wenn Kurssprünge auftreten
oder die Momentankorrelation zwischen stochastischer Volatilität und Aktienkurs
nicht perfekt ist. Die
vorgeschlagenen OBM basieren auf präferenzabhängigen Gleichgewichtsmodellen (Cox,
J./Ingersoll, J./Ross, S. 1985; Schöbel, R.
1995) oder unterstellen, dass Volatilitäts- bzw. Kurssprungrisiken
diversifizierbar sind. Es stellt sich dann die Frage, wie der Verkäufer einer
Option sich gegen eine spätere Inanspruchnahme am besten schützen kann (siehe Grünewald,
/Trautmann, 1997; Schulmerich,
/Trautmann, 2003)
1. Präferenzunabhängige Modelle
Die Präferenzabhängigkeit der Bewertung lässt sich vermeiden,
wenn man z.B. das exogene Volatilitätsrisiko als diversifizierbar unterstellt. In seinem präferenzunabhängigen
Modell lässt Merton (Merton, R.C.
1976) die stetigen Kurspfade des BSM durch Kurssprünge überlagern, unterstellt
aber gleichzeitig die Diversifizierbarkeit des Kurssprungrisikos. Hull und White (Hull, /White,
1987) zeigen ebenfalls für ein Modell mit stochastischer Volatilität
die wünschenswerte Präferenzunabhängigkeit, falls Volatilität und aggregierter
Konsum unkorreliert sind.
2. Präferenzabhängige Modelle
Rubinstein (Rubinstein,
M. 1976) zeigte als erster, dass die präferenzfreie
Black/Scholes-Formel auch dann noch Gültigkeit besitzen kann, falls im BSM die
Annahme der zeitstetigen Handelbarkeit von Aktie und Option aufgegeben wird.
Dazu unterstellt er im Rahmen eines Gleichgewichtsmodells, die Existenz eines
repräsentativen Investors mit logarithmischen Präferenzen. Wird jedoch die im
BSM unterstellte Annahme der Lognormalverteilung der Aktienkurse aufgegeben,
dann resultieren daraus in der Regel Bewertungsformeln, die nicht frei von
Präferenzparametern sind (Bates, D.S.
1991; Heston, S.L.
1993; Carr, /Geman,
/Madan, /Yor, 2002). Eine Ausnahme bildet das Modell von Duan (Duan, J.-C.
1995).
V. Empirische Überprüfung
1. Modellunabhängige Wertgrenzen
Die Profitabilität von Arbitragestrategien, wurde sowohl im
Rahmen von ex-post-Tests als auch im
Rahmen von ex-ante-Tests überprüft.
Ex-post-Tests unterstellen, dass (1) die beobachteten Preise für Optionen und
Basisinstrument zeitgleich festgelegt worden sind und (2) im Falle von
fehlbewerteten Optionen noch zu den Preisen, die eine Fehlbewertung anzeigen,
eine die Fehlbewertung ausnutzende Arbitrageposition hätte aufgebaut werden
können. Ein ex-ante-Test berücksichtigt demgegegenüber (1) die meist
nichtsimultane Festlegung von Preisen für Optionen und des zugrundeliegenden
Basisinstruments, sowie (2) einen Zeitabstand zwischen dem Erkennen eines
Fehlbewertungssignals und dem Aufbau einer entsprechenden Portefeuilleposition.
Die empirischen Ergebnisse dazu lassen durchaus den Schluss zu, dass unter
Berücksichtigung von Transaktionskosten Optionsmärkte im großen und ganzen
informationseffizient sind. Aber auch für diejenigen Märkte und Teilperioden,
in denen eine ökonomisch signifikante Profitabilität festgestellt werden
konnte, muss bedacht werden, dass ein angemessener Anteil des errechneten \'Arbitragegewinns\'
als Kompensation für das Preisänderungsrisiko, das durch den nichtsimultanen Aufbau des
Arbitrageportefeuilles entsteht, aufgefasst werden kann (Bhattacharya,
M. 1983; Trautmann, S.
1986; Trautmann, S.
1989).
2. Bewertungsmodelle
Der Vergleich von Marktpreisen mit korrespondierenden
Black/Scholes-Modellwerten für Optionen zeigt immer wieder, dass Letztere die
Marktpreise im Mittel sehr gut
erklären können. Dennoch liegt keine unverzerrte Erklärung von Marktpreisen
vor, denn diese würde z.B. bedeuten, dass die implizite Volatilität auf der
Basis beobachteter Marktpreise für Optionen unabhängig ist von den
Modellparametern Basispreis und Restlaufzeit. Die bekannteste Verzerrung wird
durch den U-förmigen Zusammenhang zwischen der impliziten Volatilität und dem
Verhältnis von Aktienkurs und Basispreis (money-ratio) beschrieben (Smile-Effekt). Demzufolge ist die
implizite Volatilität besonders niedrig für Optionen, die am Geld notieren,
während sie für Optionen, die entweder tief im Geld oder tief aus dem Geld
sind, besonders hoch ist. Dieser typische Zusammenhang verflacht allerdings mit
zunehmender Restlaufzeit (Hull, J.
1997). Auch alternative OBM weisen Verzerrungen der einen oder anderen Art auf.
Rubinstein (Rubinstein,
M. 1985); Longstaff (Longstaff, F.
1995); Bakshi/Cao/Chen (Bakshi,
G./Cao, C./Chen, Z. 1997) und Trautmann/Beinert (Trautmann,
S./Beinert, M. 1999) präsentieren entsprechende Ergebnisse für
Aktienoptionen und Bühler/Uhrig-Homburg/Walter/Weber (Bühler,
W./Uhrig-Homburg, M./Walter, U./Weber, T. 1999) für Zinsoptionen.
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