Inhaltsübersicht
I. Grundlagen
II. Prognosemethoden
auf der Basis univariater Modelle
III. Methoden
auf der Basis multivariater Modelle
IV. Ausblick:
Die zunehmende Bedeutung quantitativer Prognosemethoden für die
Unternehmensrechnung und das Controlling
I. Grundlagen
1. Begriff
und Merkmale
Unter Prognosemethoden wird die systematische Vorgehensweise
zur Ermittlung von Prognosen sowie die Herleitung von Aussagen über zukünftige
Entwicklungen und Ereignisse auf der Basis von Beobachtungen und Hypothesen,
die aus Theorien abgeleitet werden, verstanden. Am häufigsten wird als
Grundlage für die Erstellung einer Prognose eine Zeitreihe verwendet, die als
Menge der im zeitlich gleichen Abstand beobachteten Werte der Vergangenheit
definiert ist. Durch die Analyse der Zeitreihe sollen Gesetzmäßigkeiten
aufgedeckt und für die Prognose verwendet werden. Eine wesentliche
Voraussetzung für diese Vorgehensweise ist die Zeitstabilitätshypothese, die
davon ausgeht, dass die vermuteten Gesetzmäßigkeiten auch für die zukünftigen
Entwicklungen Geltung haben werden. Grundsätzlich können Prognosemethoden in
qualitative und quantitative Methoden unterschieden werden, wobei die
qualitativen Prognosemethoden qualitativen Methoden heuristische Prognosen
erarbeiten und vorwiegend qualitativ argumentieren. Die quantitativen Methoden
dagegen verwenden grundsätzlich mathematische Methoden zur Ermittlung der
Prognose.
2. Durchführung
und Anwendungsbereiche
Die quantitativen Methoden können grundsätzlich in
Zeitreihenanalysen und Kausalmodelle unterschieden werden. Während
Zeitreihenanalysen im Rahmen der kurz- und mittelfristigen Planung ihre
Anwendung vor allem in der Vorhersage von Saisonschwankungen, zyklischen
Änderungen, Trends und Wachstumsentwicklungen finden, werden Kausalmodelle
vorwiegend bei der langfristigen Planung eingesetzt, wenn Kausalbeziehungen
vermutet werden oder bekannt sind.
Um eine Prognosemethode auswählen zu können, muss der
Prognosegegenstand festgelegt werden, es muss ein Erklärungsmodell für den
Prognosegegenstand formuliert werden, es muss eine Untersuchung der Zeitstabilitätshypothese
erfolgen, die abhängigen und unabhängigen Variablen müssen auf ihre Messbarkeit
hin überprüft werden, Zeitreihen müssen untersucht und das Erklärungsmodell
muss gestestet werden. Nach Anwendung der Prognosemethoden ist es abschließend erforderlich,
die Ergebnisse auf ihre Aussagekraft und Validität hin kritisch zu überprüfen
und im Rahmen einer ex-post Abweichungsanalyse die zugrunde liegenden
Hypothesen einer kritischen Würdigung zu unterziehen.
II. Prognosemethoden auf
der Basis univariater Modelle
Wird eine Prognose ausschließlich aus den Vergangenheitsdaten
der Zeitreihe abgeleitet, so spricht man von univariaten Modellen. Zu den
Prognosemethoden, die auf univariaten Modellen beruhen, rechnet man die Methode
der gleitenden Durchschnitte, die Methode der exponentiellen Glättung, die
Methoden der Prognose bei Saisonzyklen, die Methode der Trendextrapolation, die
autoregressiven Verfahren sowie die Methoden, die Wachstums- oder
Sättigungsmodelle verwenden (Brockwell,
P.J./Davis, R.A. 1998).
1. Gleitender
Durchschnitt und exponentielle Glättung
Bei der Methode der gleitenden Durchschnitte erhält man den
Prognosewert als das arithmetische Mittel der letzten n Zeitreihenwerte. Je
größer die Zahl n der berücksichtigten Zeitreihenwerte ist, umso langsamer
werden Niveauveränderungen der zu prognostizierenden Größe nachvollzogen und
umso mehr werden zufällige Schwankungen des beobachteten Wertes ausgeglichen.
Die Methode der exponentiellen Glättung berücksichtigt nicht
nur die letzten n Zeitreihenwerte, sondern alle beobachteten Realisationswerte.
Sie gewichtet jedoch die älteren Beobachtungswerte exponentiell geringer als
die jüngeren. Bezeichnet man mit xt den
aktuellen Wert der Zeitreihe und mit yt den Prognosewert für den Zeitpunkt t, so wird
bei der exponentiellen Glättung der Prognosewert yt+1 wie folgt ermittelt:
Rekursives Einsetzen führt zu der Gleichung
Die Prognosemethoden gleitender Durchschnitt und
exponentielle Glättung sind grundsätzlich nur zur Prognose von solchen Größen
geeignet, die keinem Trend folgen. Bei einem steigenden Trend würden diese
beiden Methoden systematisch einen zu geringen Prognosewert ergeben und bei
einem sinkenden Trend einen zu hohen. Will man mit diesen beiden Verfahren eine
Größe prognostizieren, die einem linearen Trend folgt, so ist es zweckmäßig,
die als gleich bleibend erwarteten Steigerungsraten zu prognostizieren.
Eine andere Möglichkeit, einen linearen Trend zu
berücksichtigen, bietet die exponentielle Glättung zweiter Ordnung, die zu
folgender Gleichung führt:
mit
Kritisch anzumerken an diesen in der Praxis aufgrund ihrer
relativ geringen Anwendungsvoraussetzungen und leichten Programmierbarkeit
häufig eingesetzten Verfahren sind die ausschließliche Berücksichtigung der
Zeit als Einflussfaktor, der subjektiv festzulegende Glättungsparameter α
und die für praktische Anwendungszwecke nicht immer geeignete Gewichtung der
Zeitreihenwerte.
2. Prognosemethoden
bei Saisonzyklen (Saisonverfahren)
Saisonverfahren basieren auf der Analyse von Zeitreihen mit
zyklischen Schwankungen und können grob in zwei Klassen unterteilt werden. Die
erste Klasse von Verfahren nimmt eine Saisonbereinigung auf der Grundlage der
gleitenden Durchschnitte oder der exponentiellen Glättung vor, die zweite
Klasse von Verfahren bildet die Saisonkomponente durch eine Sinus- bzw.
Cosinusfunktion nach.
Zu den Saison-Prognosemethoden zählt man das ursprüngliche
Bundesbankverfahren, die Census-Methode II und die Methode von Winter. Bei
diesen Verfahren wird in einem ersten Schritt der gleitende Durchschnitt für
einen vollständigen Saisonzyklus ermittelt. Für jede Teilperiode wird sodann
der Zeitreihenwert durch diesen gleitenden Durchschnitt dividiert und der
Saisonindex zur Bereinigung der Zeitreihe ermittelt. Mit der exponentiellen
Glättung werden die saisonalen Abweichungen einer Zeitreihe von ihrem
Durchschnittswert durch einen Saisonfaktor berücksichtigt, der sich aus dem
Quotienten zwischen dem tatsächlichen Zeitreihenwert und dem
Jahresdurchschnittswert ergibt. (Hansmann,
K.-W. 1983, S. 46 ff.)
Zu den Verfahren der zweiten Klasse zählen die
Spektralanalyse und die Berliner Verfahren. Mit Hilfe von
Fourier-Transformationen wird eine Übertragung der Zeitreihe in einen
Frequenzbereich vorgenommen, die eine zeitunabhängige Identifizierung von sich
überschneidenden Saisonzyklen ermöglicht. Die Identifizierung erfolgt durch die
Zerlegung der Varianz einer Zeitreihe in mehrere additive Komponenten und deren
Zuordnung zu den sich überschneidenden Saisonzyklen. Die Erfahrung zeigt
freilich, dass der relativ hohe mathematische Aufwand für eine Spektralanalyse
durch die Güte der Prognose häufig nicht gerechtfertigt wird (Shumway,
R.H./Stoffer, D.S. 2000, S. 213 ff.).
3. Methode
der Trendextrapolation (einfache Regressionsanalyse)
Die Grundidee der Trendextrapolation (einfache
Regressionsanalyse) basiert darauf, die beobachteten Zeitreihenwerte durch ein
Polynom, dessen einzige unabhängige Variable die Zeit t ist, abzubilden. Für
die Darstellung eines linearen Trends wird das Polynom xt = a0 + a1t + ut mit ut als zufallsabhängige Störgröße angesetzt. Die
Parameter a0 und a1 ergeben sich mit Hilfe der Methode der
kleinsten Quadrate, nach der die Summe der quadrierten Abweichungen zwischen
den eingetretenen Zeitwerten und den Werten des Polynoms minimiert wird, aus den
folgenden Normalgleichungen:
Bei Erfüllung der Zeitstabilitätshypothese dient das Polynom
als Prognosegleichung für die zukünftigen Zeitreihenwerte und kann in die
Zukunft extrapoliert werden. Polynome mit einem höheren Grad als zwei können
bei einer Extrapolation durch ihre hohe Steigung zu extremen Prognosewerten
führen und sollten deshalb nur in begründeten Fällen verwendet werden.
4. Autoregressive
Verfahren
Autoregressive Verfahren leiten den Prognosewert aus den
Vergangenheitswerten regressionsähnlich ab und versuchen, die Gewichte
individuell für jeden beobachteten Wert zu optimieren. Die exponentielle
Glättung stellt in diesem Kontext nur noch einen Speziallfall dar. Das Problem
stellt sich in der Schätzung der Parameter a0,...,ap, die maßgeblich die angesetzte
Grundgleichung bestimmen:
Die Variable ut+1 ist
eine zufallsabhängige Störvariable und p ist die Ordnung des zugrunde liegenden
autoregressiven Prozesses, die so gewählt werden muss, dass eine befriedigende
Approximation von xt+1 erreicht wird. Die
Grundgleichung wird autoregressiver Prozess p-ter Ordnung (AR(p)-Prozess)
genannt. Für die Schätzung der Parameter a0,...,ap werden in der Literatur vorwiegend zwei
mathematische Verfahren, und zwar das Box-Jenkins-Verfahren und das Verfahren
adaptiver Filter, eingesetzt.
Beim Box-Jenkins-Verfahren wird jeder Zeitreihenwert als
Summe der gewichteten vergangenen Zeitreihenwerte zuzüglich einer Störvariablen
ermittelt. Um zu überprüfen, ob eine konkret zu untersuchende Zeitreihe einem
autoregressiven Prozess eines bestimmten Grades entspricht, und um die
Parameter a0,...,ap schätzen zu können, wird zunächst die
Autokorrelationsfunktion rτ (τ = 1,2,...)
formuliert, in der τ die zeitliche Verzögerung, den time lag, angibt:
Nach Aufstellung aller Autokorrelationsfunktionen für τ
= 1,2,...,p ergibt sich ein lineares Gleichungssystem mit p Gleichungen, die
auch Yule-Walker-Gleichungen genannt werden, und für die aufgrund der Symmetrie
des time lags die Eigenschaften r0 = 1 und r – i = ri gelten müssen.
Bei einem AR(p)-Prozess sind die Parameter a1 bis ap ungleich Null und danach gleich Null, sodass
man die Ordnung p des Prozesses ermitteln kann, indem man p die Werte 1, 2, ...
durchlaufen lässt und die entstehenden Gleichungssysteme so lange löst, bis ap den Wert Null annimmt.
Von einem Moving-Average-Prozess q-ter Ordnung
(MA(q)-Prozess) wird gesprochen, wenn die folgende Gleichung vorliegt, bei
welcher der Zeitreihenwert xt durch die
Vergangenheitswerte der Störvariablen ausgedrückt wird:
Die eventuell irritierende Bezeichnung Moving-Average rührt
daher, dass ein endlicher MA(q)-Prozess durch eine unendliche Reihe gewogener
Vergangenheitswerte der Zeitreihe approximiert wird und somit xt als gewogener Durchschnitt der
Vergangenheitswerte dargestellt werden kann. Das zu lösende Gleichungssystem
ist bei diesem Ansatz allerdings nichtlinear und daher nur iterativ oder mit
Hilfe von Taylorentwicklungen lösbar. Mit der Kombination der beiden Prozesse
zu einem so genannten ARMA(p,q)-Prozess (Autoregressive Moving-Average) kann
eine Verbesserung der Prognose erzielt werden. Die Anwendung dieser Kombination
ist allerdings auf stationäre Zeitreihen beschränkt und sie erfordert die
Transformation nichtstationärer in stationäre Zeitreihen. Liegt eine Zeitreihe
mit einem linearen Trend vor, so kann diese durch die Differenzbildung xt – xt-1 in eine
stationäre Zeitreihe umgeformt und das Box-Jenkins-Verfahren angewendet werden.
Abschließend erfolgt eine Rücktransformation dieser stationären Zeitreihe in
die ursprüngliche nichtstationäre Zeitreihe. Nichtstationäre Zeitreihen dieser
Art werden auch Autoregressive Integrated Moving Average-Prozess (ARIMA)
genannt (Shumway,
R.H./Stoffer, D.S. 2000, S. 144 ff.).
Beim adaptiven Filtern wird dieselbe Prognosegleichung wie
beim Box-Jenkins-Verfahren verwendet. Die Parameter werden allerdings nicht mit
einem nichtlinearen Gleichungssystem, sondern mit einer linearen Approximation
des Gradienten der Zielfunktion geschätzt. Die Schnelligkeit der resultierenden
dynamischen Anpassungsfunktionen wird durch eine Lernkonstante K gesteuert, die
vom Entscheidungsträger subjektiv festgelegt werden muss, und daher mit einer
gewissen Unsicherheit behaftet ist:
5. Wachstums-
und Sättigungsmethoden
Sättigungsmodelle dienen der Prognose eines langfristigen
Trends einer Zeitreihe, deren Werte nichtlinear verlaufen und einem
Sättigungsniveau zustreben, wie z.B. bei einer Marktsättigung. Für die
mathematische Darstellung dieses Verlaufs bieten sich die logistische Funktion
und die Gompertz-Funktion an.
Die logistische Funktion unterstellt für den Verlauf der
betrachteten Zeitreihe, dass deren Wachstum proportional zu dem im Zeitpunkt t
erreichten Niveau x(t) und zu der Differenz zwischen dem erreichten Niveau x(t)
und dem absoluten Sättigungsniveau S ist. Formal lassen sich diese beiden
Eigenschaften wie folgt ausdrücken:
In dieser Formel ist c ein Proportionalitätsfaktor und dx/dt
ist das Wachstum der Zeitreihe pro Zeiteinheit. Integration und Umformen dieser
Wachstumsgleichung führen zur logistischen Funktion
in der die Parameter S, c und C aus Vergangenheitsdaten der
Zeitreihe geschätzt werden müssen.
Ähnlich wie die logistische Funktion unterstellt die
Gompertz-Funktion für das Wachstum der Zeitreihe pro Zeiteinheit, dass es
proportional zu dem im Zeitpunkt t erreichten Niveau x(t) und zur
logarithmischen Differenz des absoluten Sättigungsniveaus S und vom Niveau x(t)
ist. Hieraus ergibt sich die Gompertz-Funktion als:
in der ebenfalls die Parameter S, c und C aus
Vergangenheitsdaten der Zeitreihe geschätzt werden müssen.
III. Methoden auf der Basis
multivariater Modelle
Wird die Prognose der zu prognostizierenden Variablen nicht
aus ihren vergangenen Werten (Zeitreihe), sondern aus anderen Variablen, welche
mit der zu prognostizierenden Variablen durch eine Kausalitätsbeziehung
verbunden sind, abgeleitet, so spricht man von multivariaten Verfahren. Das
Erkennen von Kausalbeziehungen zwischen verschiedenen Zeitreihen beruht
grundsätzlich nicht auf statistischen Auswertungen, sondern auf theoretischen
Erkenntnissen. Sind die Kausalrichtungen bekannt, so können multivariate
Verfahren eingesetzt und es kann das quantitative Ausmaß des Einflusses der
Zeitreihen der unabhängigen Variablen auf die zu prognostizierende Variable
mithilfe statistischer Methoden bestimmt werden. Zu den wichtigsten kausalen
Prognoseverfahren zählen die Indikator-Methode, die multiple Regressionsanalyse
sowie die Lebenszyklusanalyse.
1. Indikator-Methode
und multiple Regressionsanaylse
Bei der Indikator-Methode als einfaches kausales
Prognoseverfahren wird der zukünftige Wert einer ökonomischen Größe auf eine
ihr zeitlich vorgelagerte Entwicklung zurückgeführt. So kann z.B. die
Umsatzentwicklung eines Produktes in Abhängigkeit von der Anzahl der bislang
eingegangenen Aufträge prognostiziert werden.
Bei der multiplen Regressionsanalyse werden dagegen mehrere
exogene Variable berücksichtigt, von denen man aufgrund einer Theorie erwartet,
dass sie die zu prognostizierende Variable beeinflussen. Für die Formulierung
einer linearen Regressionsgleichung werden die Zeitreihen der exogenen
Variablen benötigt:
In dieser Gleichung sind yt die zu prognostizierenden Variablen, xit der Wert
der exogenen Zeitreihe i zum Zeitpunkt t und ut ist die zufallsbedingte Störvariable im
Zeitpunkt t. Die Regressionskoeffizienten bi repräsentieren den quantitativen
Einfluss der exogenen Zeitreihe i auf die Entwicklung der zu prognostizierenden
Variablen und werden mit der Methode der kleinsten Quadrate geschätzt und im
Anschluss auf ihre Signifikanz überprüft.
Die Linearität der Regressionsfunktion stellt insbesondere
für den Lösungsweg eine große Vereinfachung dar, weil so nur ein lineares
Gleichungssystem aufzustellen und zu lösen ist. Soweit es erforderlich ist,
können nichtlineare Funktionen in bestimmten Bereichen der Variablen linear
approximiert und auf die obige Grundform transfomiert werden. Bei Funktionen,
wie sie in den Wachstums- und Sättigungsmodellen üblich sind, erreicht man eine
Linearisierung durch Logarithmieren.
2. Prognosen
auf der Basis von Lebenszyklusmodellen
Der Lebenszyklus eines Produktes oder auch einer ausreichend
genau definierten Produktgruppe wird in den Lebenszyklusmodellen regelmäßig in
fünf Phasen eingeteilt. Mit der Einführung des Produktes beginnt die
Einführungsphase und sie endet mit dem Erreichen der Gewinnschwelle, das heißt,
wenn die Anlaufkosten durch die erzielten Erlöse erwirtschaftet worden sind. Es
schließt sich die Wachstumsphase an, die durch einen Umsatzanstieg mit
wachsenden Zuwachsraten gekennzeichnet ist und die endet, wenn die
Wachstumsraten nicht mehr zunehmen. In der Reifephase steigt der Umsatz in seiner
absoluten Höhe zwar weiter an, aber der Umsatzanstieg sinkt, was in der Regel
die Folge einer zunehmenden Marktsättigung ist. Wenn der Umsatz nicht mehr
steigt, sondern stagniert, geht die Reifephase in die Sättigungsphase über. Die
Degenerationsphase folgt der Sättigungsphase, wenn der Umsatz abnimmt. Sie
endet, wenn das Produkt aus dem Markt genommen wird.
Auf der Basis eines Modells über den Lebenszyklus eines
Produktes können Umsatz, Absatz, Gewinn und auch andere Größen, wie z.B.
Rentabilitäten, prognostiziert werden. Dazu ist es erforderlich, durch eine
Markt- und Wettbewerbsanalyse festzustellen, in welcher Phase des
Lebenszyklusses sich ein Produkt befindet und wie die Wettbewerbsposition des
Produktes auf dem relevanten Markt ist. Zur konkreten Prognose von zukünftigen
Umsätzen, Gewinnen usw. werden häufig die bereits dargestellten Methoden der
linearen Trendextrapolation und die Wachstums- und Sättigungsmethoden (z.B. die
logistische Funktion) angewandt.
3. Die
Prognose des Ablaufs von Projekten mit Hilfe der Netzplantechnik
Die Netzplantechnik analysiert den Ablauf von komplexen, oft
großen und innovativen Projekten und veranschaulicht den Projektablauf durch
einen Netzplan. Im Netzplan werden alle Vorgänge (Aktivitäten), die insgesamt
erledigt werden müssen, um das Projekt erfolgreich zu realisieren, in ihrer
technologisch und organisatorisch bedingten Abhängigkeit aufgeführt.
Prognostiziert man für jeden Vorgang seine Dauer, so ergibt der zeitlich
längste Weg durch den Netzplan (kritischer Weg) eine Prognose für die Dauer des
ganzen Projektes (Projektdauer).
Die Ausführung der einzelnen Vorgänge zur Realisierung des
Projektes erfordert den Einsatz von Ressourcen, vor allem von Personal und
Finanzmitteln. Prognostiziert man für die einzelnen Vorgänge ihren Bedarf an
Ressourcen, dann kann man mithilfe der Netzplantechnik Prognosen über die
Entwicklung des Ressourcenbedarfs im Laufe der Realisierung des Projektes,
insbesondere des Personalbedarfs und des Bedarfes an finanziellen Mitteln,
erarbeiten. Die Grundlage für solche Prognosen sind die Kapazitäts- und
Beschäftigungsplanung sowie die Finanzplanung
im Rahmen der Netzplantechnik.
IV. Ausblick: Die
zunehmende Bedeutung quantitativer Prognosemethoden für die
Unternehmensrechnung und das Controlling
Im Rahmen der Unternehmensrechnung und des Controllings
werden Informationen erarbeitet, die bestimmte Entscheidungsträger, wie z.B.
die Unternehmensleitung oder die Anteilseigner, für ihre Entscheidungen
benötigen. Diese entscheidungsrelevanten Informationen bestehen zu einem Teil
aus Beobachtungen und Berichten über Abläufe und Begebenheiten in der
Vergangenheit und sie bestehen zu einem zweiten sehr wesentlichen Teil aus
qualitativen Prognosemethoden und quantitativen Prognosen über die zu
erwartenden Entwicklungen und über zu erwartende Ereignisse. Die Qualität der
Entscheidungen ist in hohem Maße abhängig von der Qualität der Informationen,
insbesondere von der Qualität der Prognosen, auf denen die Entscheidungen
beruhen. Soweit Sachverhalte nicht quantifiziert werden können, ist man auf
qualitative Prognosen angewiesen, deren Qualität nur sehr schwer beurteilt werden
kann. Soweit aber Sachverhalte quantifiziert werden können, ist es möglich, mit
den quantitativen Prognosemethoden nachprüfbar zukünftige Beobachtungen zu
prognostizieren. In der Unternehmensrechnung und im Controlling werden viele
quantitative Größen ermittelt und dokumentiert, welche Grundlage für die
Anwendung quantitativer Prognosemethoden sein können. Der Einsatz dieser
Methoden erfordert, dass der Controller mit diesen Methoden vertraut ist, dass
er die erforderlichen Eingabedaten ermitteln kann und dass eine geeignete
Software auf einer Methodenbank zur Verfügung steht. Die sinnvolle Anwendung
einer Methode erfordert es freilich auch, die rechnerischen Ergebnisse richtig
zu interpretieren und die Grenzen dieser Methoden zu beachten. Es ist zu erwarten,
dass die Leistung eines Controllers in der Zukunft sehr wesentlich auch daran
gemessen wird, wie gut seine Prognosen sind.
Literatur:
Brockhoff, Klaus :
Prognoseverfahren für die Unternehmensplanung, Wiesbaden 1977
Brockwell, Peter
J./Davis, Richard A. : Time series: theory and methods, New York, 2. A., 1998
Hansmann, Karl-Werner :
Kurzlehrbuch Prognoseverfahren, Wiesbaden 1983
Küpper, Willi/Lüder,
Klaus/Streitferdt, Lothar : Netzplantechnik, Würzburg 1975
Schwarze, Jochen :
Netzplantechnik: eine Einführung in das Projektmanagement, Herne, 7. A., 1994
Shumway, Robert
H./Stoffer, David S. : Time series analysis and its applications, New York 2000
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