Inhaltsübersicht
I. Die
Vorgehensweise im Grundsätzlichen
II. Der
Ablauf im Einzelnen
III. Die
Bedeutung für das Marketing
I. Die Vorgehensweise im
Grundsätzlichen
1. Zielsetzung und historische Entwicklung
Die Faktorenanalyse ist eines der ältesten multivariaten Datenanalyseverfahren.
Sie hat ihren Ursprung in der Psychologie: Man versuchte dort schon Ende des
19., Anfang des 20. Jahrhunderts, im Zuge der Messung der »Intelligenz«, diese
möglichst auf einen einzigen Faktor, den sog. »Generalfaktor« im Sinne Spearman\'s zurückzuführen (Spearman, C.
1904). Später wurde zu der Vorstellung von »multiplen Faktoren« (Thurstone, L.
L. 1931) übergegangen. Damit konnte als – auch heute noch
maßgebliche – Grundidee des Verfahrens
angesehen werden, eine Vielzahl von gegebenen (»manifesten«) Größen, auf der
Basis der empirischen Korrelationen zwischen ihnen, auf einige wenige dahinter
stehende – »latente« – Faktoren zurückzuführen. Allerdings hat sich im Laufe
der Zeit eine Vielzahl von Varianten
entwickelt, sodass man heute im Grunde von einer ganzen Gruppe von Verfahren, mit dem eben genannten gemeinsamen Ziel, sprechen muss. Dies bezieht sich auf das zugrunde
liegende »Modell«; darauf wird unter
1.3. noch näher eingegangen. Denn die Modellvorstellungen sind nicht unabhängig
von der Rechentechnik; hier haben
sich durch die Entwicklung der Hauptkomponentenmethode (Hotelling, H.
1933) besonders große Fortschritte ergeben. Andere Erweiterungen, auch im
Zusammenhang damit, bezogen sich auf die Richtung, in der »faktorisiert« wird;
darauf ist unter I.2. einzugehen. Abschließend, als »Resümee«, werden einige
Hinweise auf die Voraussetzungen
gegeben und die Ablaufschritte genannt. Hier
muss allerdings noch darauf hingewiesen werden, dass die ganze bisher
skizzierte Entwicklung im Grunde rein »deskriptiv«
war; eine wahrscheinlichkeitstheoretische
Fundierung vollzog sich erst später (Lawley, D.
N./Maxwell, A. E. 1963). Noch später kam es dann zur Entwicklung der
sog. konfirmatorischen Faktorenanalyse,
die wiederum eine der Wurzeln der Kausalanalyse
bildet. Insofern handelt es sich bei der hier erörterten »Faktorenanalyse« um
ein exploratives Verfahren. Das
erklärt auch, warum es um diese in neuerer Zeit in der Literatur relativ still
geworden ist. Als neuere umfassende Spezial-Darstellungen sind etwa zu nennen –
deutschsprachig – Revenstorf (Revenstorf,
D. 1976 und Revenstorf,
D. 1980) sowie – englischsprachig – Harman (Harman, H. H.
1976); vgl. aber auch die relativ ausführlichen Erörterungen in z.B. Johnson (Johnson, J.
D. 1992) und Tabachnik (Tabachnik, B.
G./Fidell, L. S. 1989).
2. Die »Faktorisierung« der Datenmatrix
Die Datenmatrix für
die gegebenen (»beobachteten«) Werte, X, wird heute im Allgemeinen
(speziell im Unterschied zu manchen – insbesondere älteren – Darstellungen der
Faktorenanalyse) so definiert, dass in den Spalten
die Variablen (hier: von 1 über j bis
n) und in den Zeilen die »Cases« oder »Objekte« etc. (hier über i
bis m) angeordnet werden. Das allgemeine Matrix-Element xij bezeichnet also die Messung der j-ten
Variabeln am i-ten Objekt. Geht man, wie meist üblich, davon aus, dass dies
Personen (etwa bei einer Befragung im Rahmen der Marktforschung)
sind, so hat man den Normalfall der R-Analyse. Diese Bezeichnung rührt
daher, dass rechnerischer Ausgangspunkt,
gemäß der obigen Definition, die Korrelationen
zwischen den gegebenen Variablen, also die – bivariaten –
Bravais-Pearsons\'schen Koeffizienten r(jj), sein können. »Faktorisiert« wird
dann die KorrelationsmatrixR.
Da es sich dabei um eine quadratische und symmetrische Matrix handelt, benötigt
man als Daten-Input im Grunde nur die – obere oder untere – »Dreiecksmatrix«.
Als Sonderfall der
R-Analyse lässt sich denken, dass neben der Variablen
(z.B. Produkt-Eigenschaften) auch noch die Produkte
(z.B. als »Marken«) eine Rolle spielen. Wird dies, wie üblich, an Personen (z.B. Befragten) ermittelt, so
führt das im Grund zur »drei-modalen
Faktorenanalyse«. Darauf soll hier verzichtet werden (vgl. zu einer neueren
Betrachtung der Problematik und der verschiedenen Möglichkeiten Krolack-Schwerdt (Krolack-Schwerdt,
S. 1991), zumal eine Rückführung auf die übliche »Two-Way-Matrix«
mittels Durchschnittsbildung über die
Personen möglich ist. »Faktorisiert«
würde dann zwar hier genauso die übliche (n x n-Variablen-)Korrelationsmatrix; die Darstellung im Raum könnte sich
aber auf die Produkte beziehen – was
für die »Produktpositionierung« bzw. »Marktmodelle« (s. dazu unter III.)
wichtig ist.
Stephenson (Stephenson,
W. 1935; Stephenson,
W. 1936) hat auf die Möglichkeit einer »umgekehrten« Faktorenanalyse
hingewiesen: die Faktorisierung in Richtung auf die Personen (statt auf die Variablen). Hier würde also die transponierte (und nicht »invertierte«) Datenmatrix verwendet; bei der Korrelationsmatrix würde es sich um die
Korrelationen zwischen Personen – die quasi eine Art »Ähnlichkeit« von Personen
bezeichnen – handeln. Bei dieser sog. Q-Analyse
würden also gemeinsame Dimensionen in Bezug auf die Personen, also eine Art
»Personentypen« gewonnen. Dies ist aber eine Fragestellung, die mit der Clusteranalyse
derzeit wohl besser angegangen werden kann. Insofern wird dieser Normalfall der Q-Analyse heute eher
selten angewandt. Von größerer Bedeutung im Rahmen der »Produktpositionierung«
(s. dazu unter III.) könnte der Sonderfall
sein, bei dem wiederum die Personen durch Produkte
ersetzt werden, dann aber auch in Richtung auf diese »faktorisiert« wird (die
zugrunde liegende Korrelationsmatrix also die Korrelationen zwischen Produkten
enthält).
3. Die »Modelle« der Faktorenanalyse
Im Folgenden soll – im Hinblick auf die normale R-Analyse –
davon ausgegangen werden, dass man nicht schon die Korrelationsmatrix zugrunde legt, sondern – etwas weiter zurück –
die Datenmatrix, allerdings nicht in
der ursprünglichen, sondern in der standardisierten Form, mit zij = (xij – x¯j)/sj (mit x¯ als arithmetischem Mittel und s als
Standardabweichung), also Z (mit den Dimensionen m x n). Die erwähnte Rechentechnik der Hauptkomponentenmethode besteht nun darin, den Satz der n
miteinander korrelierten Variablen in einen genauso großen Satz von
unkorrelierten – d.h. »orthogonalen« – Faktoren (bzw. eben »Hauptkomponenten«)
zu transformieren, unter der Nebenbedingung, dass die von ihnen jeweils
»erklärte« Varianz maximiert wird (der 2. Faktor also möglichst viel der nach
Extraktion des 1. Faktors noch verbliebenen »Restvarianz« erklärt usw.).
Formal:
zj = aj1f1 + aj2f2 + ? ajrfr(1)
Dabei steht zj für die
Variablen j in standardisierter Form (Harman, H. H.
1976). Diese werden gedacht als Linearkombination der neuen (unkorrelierten)
Komponenten f (hier mit r = n). Die die Transformation bewirkenden
Koeffizienten aj heißen Faktorenladungen
(»factor loadings«). Bezieht man auch noch die einzelnen Elemente i ein und
bezeichnet die Ausprägung der jeweiligen Faktoren auf ihnen als Faktorenwerte (»factor scores«), so
gelangt man zur Matrizenschreibweise:
Z\' = AF\'(2a)
oder Z = F A\'(2b)
Zum »Modell« im Sinne der Faktorenanalyse – im Folgenden Hauptkomponentenmodell genannt – wird
die Methode erst, wenn eine Reduktion auf weniger Faktoren als ursprüngliche
Variablen erfolgt: r < n. (Die Multiplikation der Matrix der
Faktorenladungen mit der der Faktorenwerte reproduziert also in diesem Fall
nicht mehr die Matrix der standardisierten Beobachtungswerte; s. dazu auch unter
II.4.).
Das »Faktorenmodell«
geht dagegen von vornherein davon aus, dass die gemeinsamen (»common«) Faktoren nur einen Teil der gesamten Varianz
erklären; der unerklärte Rest entfällt auf »Einzelrestfaktoren«
(»unique factors«):
zj = aj1f1 + aj2f2 + ? ajrfr + Σbjuj(3)
(wie oben, aber mit r < n und bj der Ladung der unique factors uj). In
Matrizenschreibweise:
Z\' = AF\' + BU\'(4a)
bzw.
Z = FA\' + UB\'(4b)
Das sog. Fundamentaltheorem der Faktorenanalyse;
R = AA\'(5)
besagt, dass die Matrix der Faktorenladungen, multipliziert
mit ihrer Transpose, die ursprüngliche Korrelationsmatrix reproduziert. Im
Falle der expliziten Berücksichtigung von »Einzelrestfaktoren« kann damit die
Hauptdiagonale nicht, wie bei einer normalen Korrelationsmatrix, gleich 1 sein.
Vielmehr ergibt sich ein niedrigerer Wert; er wird als »Kommunalität« h bezeichnet. Formal ist hj2 definiert als Summe der quadrierten
Faktorenladungen einer Variablen (über alle Faktoren). Eine solche »reduzierte
Korrelationsmatrix« sollte entsprechend als Rh geschrieben werden. (Die obige Gleichung hat
also im Grunde die Form: R – U = AA\'!) Letztlich bedeutet
dies, dass praktisch die beiden
Modelle sich dadurch unterscheiden, ob in der Ausgangs-Korrelationsmatrix 1 in
der Hauptdiagonalen steht oder nicht. Oder anders: Im Falle des
»Faktorenmodells« muss als erster Schritt die Kommunalitätenschätzung erfolgen.
Auf weitere Modelle
der Faktorenanalyse soll hier nur hingewiesen werden: die sog. kanonische Faktorenanalyse (Rao, C. R.
1955) und die Alpha-Faktorenanalyse (Kaiser, H.
F./Caffrey, J. 1965). Beide haben zunächst gemeinsam, dass sie auf dem klassischen »Faktorenmodell« beruhen
und den Stichprobencharakter der Daten betonen. Während jedoch Erstere –
insofern in Richtung auf wahrscheinlichkeitstheoretische Fundierung und
konfirmatorische Faktorenanalyse – nach den »wahren« Parametern in der Grundgesamtheit fragt, stellt Letztere – stärker
einem psychologischen Denkansatz folgend – mehr auf die Variablen als »Stichprobe« und damit deren Generalisierbarkeit, mit
Konsequenzen für die Faktorenextraktion, ab.
Noch wieder anders geht ein weiteres Modell, die
Image-Analyse, vor. Dieses auf Guttman
zurückgehende Verfahren beruht darauf, dass eine Aufspaltung jeder Variablen in
zwei Teile erfolgt: Der erste, eben das »Image«, beinhaltet den, der völlig
durch die anderen Variablen bestimmt wird (und durch multiple Regression
berechnet wird); der Rest – das »Anti-Image« – ist der von den anderen
Variablen unabhängige Teil. Im weiteren Verlauf werden dann nur die
»Image«-Werte weiterverarbeitet (Guttman, L.
1953). Insofern basiert das Verfahren einerseits durchaus auf dem
»Faktorenmodell«. Der Unterschied liegt darin, dass die aus den »Images
resultierenden Kommunalitäten zugrunde gelegt werden. Es kann deshalb andererseits
zusammen mit dem Modell der »Hauptkomponenten« gerade dem »Faktorenmodell«
gegenübergestellt werden: »Images und Hauptkomponenten lassen sich immer
berechnen, sie sind Transformationen der Daten« (Revenstorf,
D. 1980).
4. Resümee: Voraussetzungen und Ablaufschritte
Gewisse Voraussetzungen ergeben sich zwingend aus dem
vorstehend dargestellten Vorgehen:
1.
lineare
Additivität: Die Beziehungen der Variablen sind linear; die Faktoren
wirken additiv zusammen.
Es existiert jedoch auch das Konzept einer nicht-linearen Faktorenanalyse. (Vgl. dazu etwa – überblickartig
– Köhle, D.
1974.)
2.
Die Daten
sind metrisch.
Allerdings ist darauf hinzuweisen, dass auch aus nominal- und ordinalskalierten
Daten Koeffizienten berechnet werden können, die denen aus metrischen ähneln.
Zumindest also dann, wenn man sich auf die Extraktion und Interpretation von
Faktoren beschränkt, d.h. als Daten-Input nur eine Korrelationsmatrix
benötigt, ist formal auch mit solchen Koeffizienten die Vornahme von
Berechnungen möglich.
Weitere oft
genannte Voraussetzungen erscheinen zumindest für die Faktorenanalyse in der
hier diskutierten Form als optional: Multivariate Normalverteilung ist
letztlich nur bei wahrscheinlichkeitstheoretischen
Tests unverzichtbar; ähnlich gilt inhaltlich das Vorliegen einer Zufalls-Stichprobe zwar in jedem Falle
als wünschenswert, als zwingend dagegen nur bei konfirmatorischer – statt, wie hier, mehr explorativer – Interpretation.
Im allgemeinen
Falle kann man vier Ablaufschritte der »eigentlichen« Faktorenanalyse (also
abgesehen von der – meist erforderlichen – »Vorbehandlung« der Daten in Bezug
auf das Problem der »Ausreißer«, »fehlenden Werte« usw.!) unterscheiden:
1.
Kommunalitätenschätzung,
2.
Faktorenextraktion,
3.
Faktorenrotation,
4.
Berechnung von Faktorenwerten.
II. Der Ablauf im
Einzelnen
1. Kommunalitätenschätzung
Das Problem der Kommunalitätenschätzung ergibt sich, wie
dargelegt, überhaupt nur dann, wenn vom »Faktorenmodell« ausgegangen wird. Die
ansonsten für die Hauptdiagonale der Korrelationsmatrix anzunehmende 1 (die
Korrelation einer Variablen mit sich selbst) ist dann durch andere Werte zu
ersetzen. Allein dafür gibt es eine ganze Reihe von Verfahren. Wichtig davon
sind einerseits die Wahl des (absolut) höchsten Koeffizienten in der
betreffenden Zeile oder andererseits die Verwendung des multiplen
Bestimmtheitsmaßes der jeweiligen Variablen in Bezug auf alle anderen.
Hinsichtlich solcherart geschätzter Werte können dann auch – heute vielfach
benutzt! – iterative Verfahren
angewandt werden: Die Faktorenextraktion beginnt mit den geschätzten
Kommunalitäten in der Hauptdiagonalen. Wie dargelegt, ergeben sich – via
»Fundamentaltheorem« – aus den Faktorenladungen neue Kommunalitätenschätzungen.
Es beginnt ein weiterer Iterationszyklus, mit Einsatz dieser in die
ursprüngliche Korrelationsmatrix, usw. Die Iteration endet, wenn entweder eine
vorher festgelegte Zahl von Schritten vollzogen ist oder die Differenz zwischen
ursprünglichen und resultierenden Kommunalitäten eine bestimmte Größe nicht
übersteigt.
2. Faktorenextraktion
Die Faktorenextraktion bildet den eigentlichen rechnerischen Kern der Faktorenanalyse
(da ja, wie mehrfach erwähnt, die Kommunalitätenschätzung bei Verwendung des
»Hauptkomponentenmodells« entfällt). Sie ist aufwendig und erfordert den
Einsatz von Computern. Die gängigen Datenanalyseprogramme enthalten
entsprechende Routinen, sodass auf die Durchrechnung eines Beispiels hier
verzichtet werden kann (Hüttner, M.
1979). Nur der Rechengang sei kurz skizziert:
Ausgangspunkt ist, wie erwähnt, die Korrelationsmatrix R.
Da, wie ebenfalls bereits erwähnt, »orthogonale«
Faktoren so extrahiert werden sollen, dass die von ihnen jeweils erklärte
Varianz maximiert wird, handelt es sich um die Maximierung einer Funktion unter
Nebenbedingungen. Im Wege der Differenzialrechnung unter Verwendung der
Lagrange-Multiplikatoren λi resultiert dann das klassische
»Eigenwertproblem«, mit der »charakteristischen Gleichung«:
| R – λI | = 0(6)
den Eigenvektoren
für die einzelnen Eigenwerte:
Rv = λv(7)
und endlich der kompletten Eigenstruktur:
RV = VL(8)
Die Koeffizientenmatrix V sagt jedoch inhaltlich wenig
aus; es interessieren vielmehr die Korrelationen der extrahierten Faktoren mit
den ursprünglichen Variablen, die – wie erwähnt – »Faktorenladungen«. Ihre
Matrix A ergibt sich durch Multiplikation von V mit den
Quadratwurzeln der Eigenwerte:
A = VL1/2 (9)
Das eigentliche – inhaltliche – Problem dabei stellt dar, wie
viele Faktoren – aus den ursprünglich gleich vielen Hauptkomponenten wie
Variablen – »beizubehalten« sind. In der Praxis verwendet man dafür meist
Faustregeln. Die verbreitetste davon ist (zum sog. Scree-Test – mit Abbildung – vgl. Backhaus,
K./Erichson, B./Plinke, W. et al. 1990) das sog. Kaiser-Kriterium: Es sind nur so lange
Faktoren zu extrahieren, wie deren Eigenwerte > 1 sind. Das leuchtet
unmittelbar ein: Durch die Standardisierung ist die Varianz einer Variablen 1;
ein »Faktor«, der gerade nur so viel bzw. sogar weniger als die ursprüngliche
Variable zur Varianzerklärung beiträgt, hat also wenig Bedeutung. Die bei Hüttner angeführten beiden Beispiele
zeigen die Bedeutung, aber auch Problematik dieses Vorgehens (Hüttner, M.
1989).
Die Faktorenextraktion liefert im Allgemeinen einen Satz von
neuen Variablen (oder »Variaten«), eben die Faktoren, die formal statistisch voneinander unabhängig – »orthogonal« – , inhaltlich aber unbestimmt sind. Es
bedarf also der Interpretation. Diese
wird jedoch dadurch erschwert, dass zumeist die extrahierten Faktoren im Grunde
arbiträr, willkürlich sind: Sie können ohne Verstoß gegen die
mathematisch-statistischen Grundlagen in andere transformiert werden. Diese
Transformation in eine Lösung, die die Interpretation erleichtert, ist Aufgabe
der Faktorenrotation.
3. Faktorenrotation
Das grundlegende Prinzip
hat Thurstone beschrieben: die Einfachstruktur (Thurstone, L.
L. 1931; Thurstone, L.
L. 1947). (Er hat auch eine Reihe von Kriterien für das Vorliegen einer solchen angegeben – z.B., dass
jede Zeile der Faktor[ladungs]matrix mindestens eine 0 haben muss.) Es läuft
darauf hinaus, dass durch die Drehung der Koordinatenachsen die
Koordinatenwerte der Variablenpunkte – im zweidimensionalen Falle – nahe an
eben diese Achsen gebracht werden. Mit anderen Worten und allgemeiner: Die
»Ladungsstruktur« soll so aussehen, dass die Ladungen einzelner Variabler auf
einem Faktor möglichst hoch, auf den anderen dagegen möglichst niedrig sind.
Dadurch werden im Ergebnis die Faktoren durch einige wenige Variablen
»beschrieben« und somit interpretierbar. Damit ist schon gesagt, dass die
Rotation zunächst visuell (oder »geometrisch«) geschehen kann: Aufgrund
der Inspektion des Punkteschwarmes wird eine Rotation vorgenommen; zeigt sich,
dass die »Einfachstruktur« noch nicht hinreichend gegeben ist, die Punkte also
noch nicht nahe genug an den Koordinatenachsen liegen, muss eine weitere
Rotation erfolgen, usw. Heute geschieht die Rotation im Allgemeinen auf analytischem Wege. Umstritten ist jedoch
der dabei anzuwendende Algorithmus.
Dies gilt noch stärker für die grundsätzliche
Frage, ob die ursprünglich orthogonalen
Faktoren beibehalten werden sollen, also eine rechtwinklige Rotation erfolgt, oder das Konzept der
»Einfachstruktur« erfordert, sie ohne Rücksicht auf die Unabhängigkeit der
Faktoren anzustreben, also ggf. eine schiefwinklige
Rotation vorzunehmen. Die Entscheidung für die schiefwinklige – oblique
– Rotation wird dadurch erschwert, dass nicht nur, wie dies auch bei der
orthogonalen der Fall ist, eine ganze Reihe verschiedener Lösungsansätze (z.B.:
Oblimax, Oblimin usw.) vorliegt, sondern auch innerhalb eines Ansatzes diverse
Lösungen möglich sind. Für die
schiefwinklige Rotation spricht, dass eigentlich kaum Anhaltspunkte dafür
vorliegen, dass das »wirkliche Leben« tatsächlich »orthogonal« ist. Gegen sie ist anzuführen, dass damit
»der Willkür zusätzlich noch Tür und Tor geöffnet wird (Tschopp, A.
1991). Auch hat man es dann mit zusätzlichen
Matrizen zu tun: Neben die bereits bekannte Matrix A (jetzt Faktorenmuster – »factor pattern« – tritt die
Matrix S der Faktorenstruktur
(»factor structure«); sie ergibt sich aus Ersterer durch deren
Nachmultiplikation mit der Matrix C, der Interkorrelation der Faktoren (»factor correlation«): AC = S.
Für die rechtwinklige – orthogonale
– Rotation gibt es, wie erwähnt, ebenfalls verschiedene Algorithmen. Die wohl
bekanntesten sind:
1.
Quartimax:
Hierbei wird eine »Vereinfachung« – im Sinne von Thurstone – der Zeilen
angestrebt. Das bedeutet, dass im Extrem jede Variable nur auf einem Faktor lädt. Die Konsequenz ist
im Allgemeinen, dass der erste Faktor eher einen »Generalfaktor – mit
mehreren hohen Variablen-Ladungen – darstellt, die weiteren dagegen nur
Untergruppen von Variablen oder eben nur jeweils eine davon enthalten.
2.
Varimax: Im
Gegensatz zu Quartimax zielt die Varimax-Rotation auf die Vereinfachung der Spalten. Wegen dieser Vereinfachung
der Spalten und damit der Faktoren – in Richtung auf 1 oder 0 – wird im
Allgemeinen eine deutlichere Ladungsstruktur erreicht und damit die
Interpretation erleichtert.
3.
Equamax: Wie
schon der Name sagt, stellt diese Methode den Versuch eines Kompromisses
zwischen Quartimax und Varimax dar: Die Ausrichtung erfolgt nicht auf entweder die Zeilen oder die Spalten, sondern
gleichermaßen auf beides.
Erfahrungen auch des Verf. zeigen, dass die Unterschiede im
Allgemeinen gering sind. Das gilt selbst bei Einbezug der Oblimin-Rotation,
zumindest der »gemäßigt schiefwinkligen«, und ebenfalls für die Kombination mit den verschiedenen
Extraktionsmethoden. Für die Praxis
kann deshalb, unter Bezugnahme auf Kaiser,
der ein sehr viel komplizierteres »Second Generation Little Jiffy« vorschlägt, folgendes Vorgehen empfohlen werden (Kaiser, H. F.
1970).
1.
Faktorenextraktion
nach dem »Hauptkomponentenmodell»
(unter Beibehalten von »Faktoren« mit Eigenwerten > 1),
2.
Varimax-Rotation.
Mit der Extraktion und Rotation der Faktoren endete früher
zumeist der Rechengang; es folgte »nur noch« die Interpretation. Sie geschah auf der Basis der Faktorladungen (die ja, wie erwähnt, die
Korrelation der gewonnenen Faktoren mit den ursprünglichen Variablen angeben).
Zur Benennung der Faktoren – im Raum: »Dimensionen« – wurden dazu die (positiv oder negativ!) bei einem Faktor »hoch«
ladenden Variablen herangezogen. Die Entscheidung, was als »hoch« angesehen
wird, erfolgt meist mehr oder weniger willkürlich bzw. mit Faustregeln –
»gängige Praktik«, wie Tschopp (Tschopp, A.
1991, S. 53) es bezeichnet, scheint in der Tat »Variablen mit Faktorladungen
> 30 zur Interpretation beizuziehen«.
4. Die Berechnung von Faktorenwerten
Heute geht man vielfach noch einen Schritt weiter und ordnet
den einzelnen Cases »Werte« (factor scores) zu. Diese resultieren,
gewissermaßen in einer Drehung des ursprünglichen Problems, aus der
Multiplikation der (standardisierten) Beobachtungswerte mit den gewonnenen
Faktorladungen. Formal: Lautete gemäß oben die Ausgangsgleichung:
Z\' = AF\'(2a)
so folgt daraus für die Faktorenwerte:
F\' = A-1Z\'(10)
Die exakte Berechnung ist aber nur möglich, wenn mittels der
Hauptkomponentenmethode alle Faktoren
extrahiert und beibehalten werden; nur dann existiert eine Inverse der Matrix
der Faktorenladungen. Wie dargelegt ist dies aber in der Regel nicht der Fall;
es widerspräche dem Sinn der Faktorenanalyse. Dann kann nur eine Schätzung
erfolgen. Dafür wurden im Laufe der Zeit mehrere Vorschläge ausgearbeitet. Via
Regression kann beispielsweise eine Ermittlung wie folgt geschehen:
F\' = Z B(11)
mit
B = R-1A(12)
III. Die Bedeutung für
das Marketing
Die Bedeutung der (explorativen) Faktorenanalyse für das Marketing
lässt sich in drei großen Gebieten zusammenfassen:
1.
Das historisch älteste Anwendungsgebiet ist – mehr methodisch – die Reduktion der
Vielzahl von Variablen auf einige wenige, diese kennzeichnende Dimensionen. Mit der Gewinnung solcher grundlegender Dimensionen
und ihrer Interpretation wurde also
die Aufgabe als beendet angesehen. Sachlich
handelte es sich dabei z.B. um »Werthaltungen« und ihre grundsätzlichen
Dimensionen, die Beseitigung von Redundanzen in Fragebogen bzw. Tests (in
Bezug auf die verschiedenen »Items«) oder Produkteigenschaften. Hinsichtlich
Letzterer seien zwei Beispiele genannt:
(a) Die Auswertung einer Studie über das Arzneimittel »Bactrim« (in einer vom
Infratest-Forschungsservice 1974
herausgegebenen Broschüre – eine entsprechende Veröffentlichung, aber mit
anderen Beispielen, wurde im Vorwort als »Nachfolger eines wissenschaftlichen
Bestsellers bezeichnet« – ; s. auch das ausführliche Referat über die
faktorenanalytische Auswertung bei Hüttner
(Hüttner, M.
1978) und
(b) eine empirische Studie für Butter und Kaffee (Weinberg,
P. 1976; s. das Referat darüber bei Hüttner, M.
1979).
2.
Die Berechnung von Faktorenwerten für die einzelnen
Elemente ermöglicht – ganz abgesehen von der bloßen Datenreduktion (anstelle
der ursprünglichen Variablenwerte) – deren Positionierung im Raum. Damit wird
auch ihre Verteilung bzw. »Zusammenballung« deutlich. Statt dieser nur mehr
visuellen Darstellung kann ein weiteres analytisches Vorgehen erfolgen: die
Zusammenfassung aufgrund der Faktorenwert-Ausprägungen zu Gruppen mittels der
Clusteranalyse.
Insofern wird die Faktorenanalyse zur Vorstufe
für weitere Analysen: Der Einsatz multivariater Verfahren erfolgt im Verbund.
3.
Es ist ein altes Ziel der Marketingforschung, Produkte
in einem »Marktmodell« darstellen zu können. Empirisch ist dies möglich geworden mittels multivariater
Verfahren: zuerst mit der Diskriminanzanalyse, heute vielfach mittels der Multidimensionalen Skalierung. Die
Faktorenanalyse ermöglicht eine solche »Produktpositionierung« ebenfalls:
über die Produkte. Wie oben
angedeutet kann dies sogar auf zwei Wegen geschehen: in einer normalen
R-Analyse, indem zunächst über die Personen gemittelt wird; damit verbleiben Produkte – als Elemente – und Variablen; die »Faktorisierung«
Letzterer ergibt die zugrunde liegenden Dimensionen; über die Faktorenwerte
können die Produkte dann in diesen Dimensionen dargestellt werden. Ein Beispiel hierfür – allerdings ein
nicht ganz vollständiges, insofern, als grafisch nur die Positionen in zwei
von drei extrahierten Faktoren wiedergegeben sind – bringen, in großer
Ausführlichkeit und Anschaulichkeit, Backhaus/Erichson/Plinke
(Backhaus,
K./Erichson, B./Plinke, W. et al. 1990). Die zweite Vorgehensweise
ist von Böhler/Stölzel (Böhler,
H./Stölzel, A. 1977) und auch vom Verfassser (Hüttner, M.
1979) herangezogen worden: Als Sonderfall der Q-Analyse wird, nach ebenfalls
der Mittelung über die Personen, direkt in Richtung auf die Produkte
faktorisiert. Wegen dieser Faktorisierungsrichtung – die Korrelationsmatrix
enthält nun die Beziehungen zwischen Produkten – ergibt sich unmittelbar, ohne die Schätzung von
Faktorenwerten, eine »Produktpositionierung« (im Beispiel des Verf. von fünf
Benzinmarken im zweidimensionalen Raum). Allerdings ist hier die
Interpretation schwieriger; über die Positionierung der Variablen mittels der
Faktorenwerte können jedoch zusätzliche Anhaltspunkte dafür gewonnen werden.
Literatur:
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: Multivariate Analysemethoden, 6. A., Berlin et al. 1990
Böhler, H./Stölzel, A. :
Faktorenanalytische Positionierungsmodelle, in: Der Markt, 1977, S. 21 – 28
Guttmann, L. : Image Theory for the
Structure of Quantitative Variates, in: Psychometrika, 1957, S. 277 – 296
Harman, H. H. : Modern Factor
Analysis, 3rd ed., Chicago et al. 1976
Hotelling, H. : Analysis of a Complex
of Statistical Variables into Principal Components, in: Journal of Educational
Psychology, 1933, S. 417 – 441 u. 498 – 520
Hüttner, M. : Multivariate Methoden
im Marketing, München 1978
Hüttner, M. : Informationen für
Marketing-Entscheidungen, München 1979
Hüttner, M. : Grundzüge der
Marktforschung, 4. A., Berlin et al. 1989
Jobson, J. D. : Applied Multivariate
Data Analysis, Vol. III: Categorial and Multivariate Methods, New York et al.
1992
Kaiser, H. F. : A Second-Generation
Little Jiffy, in: Psychometrika, 1970, S. 401 – 415
Kaiser, H. F./Caffrey, J. : Alpha
Factor Analysis, in: Psychometrika, 1965, S. 1 – 14
Köhle, D. : Nichtlineare
Faktorenmodelle: eine kritische Betrachtung, in: AI, 1974, S. 391 – 395
Krolack-Schwerdt, S. : Modelle der
dreimodalen Faktoranalyse, Frankfurt a.M. 1991
Lawley, D. N./Maxwell, A. E. :
Factor Analysis as a Statistical Method, 2nd ed., London 1991
Rao, C. R. : Estimation and Test of
Significance in Factor Analysis, in: Psychometrika, 1955, S. 93 – 111
Revenstorf, D. : Lehrbuch der
Faktorenanalyse, Stuttgart 1976
Revenstorf, D. : Faktorenanalyse,
Stuttgart 1980
Spearman, C. : General Intelligence
Objectively Determined and Measured, in: American Journal of Psychology, 1904,
S. 201 – 293
Stephenson, W. : Correlating Persons
Instead of Tests, in: Character and Personality, 1935, S. 17 – 24
Stephenson, W. : The Foundations of
Psychometry: Four Factor Systems, in: Psychometrika, 1936, S. 195 – 209
Tabachnik, B. G./Fidell, L. S. :
Using Multivariate Statistics, 2nd ed., New York 1989
Thurstone, L. L. : Multiple Factor
Analysis, in: Psychological Review, 1931, S. 406 – 427
Thurstone, L. L. : Multiple Factor
Analysis, Chicago 1947
Tschopp, A. : Modellhaftes Denken in
der Soziologie, Bern 1991
Weinberg, P. : Produktspezifische
Markentreue von Konsumenten, in: ZfbF, 1976, S. 276 – 297
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