Produktionsfunktion

bezeichnet die mathematische Abhängigkeit zwischen   Output und   Input. Dabei können beide Beziehungsrichtungen sinnvoll sein: Die inputorientierte Version, bei der der   Output als abhängig vom   Input betrachtet wird, ist für gesamtwirtschaftliche Beziehungen sinnvoll, wenn z. B. das Sozi­alprodukt aus der Kenntnis der Arbeitskräfte, der Kapitalausstattung usw. prognostiziert werden soll. Die outputorientierte Version, bei der der   Input als abhängig vom   Output betrachtet wird, ist für einzelwirtschaftliche Beziehungen sinnvoll, wenn z. B. die für ein geplantes Produktionsprogramm benötigten   Produktionsfaktoren bestimmt werden müssen. Aus der Sicht der  Aktivitätsanalyse kann man die Produktionsfunktion als den effizienten Extremfall der  Technologiemenge bezeichnen. Aus der Sicht der  Input-Output-Analyse drückt die Produktionsfunktion die gesamte mehrstufige Einsatz-Ausbringungs-Beziehung aus, während die Einsatz-Ausbringungs-Beziehung eines einzelnen Arbeitsplatzes als   Transformationsfunktion bezeichnet wird. Siehe auch   Produktionsfunktion vom Typ A und Typ B,   Cobb-Douglas-Funktiion,   Leontief-Funktion,   Verbrauchsfunktion,   Anpassungsformen. Siehe auch Übersichtsbeitrag   Produktions- und Kostentheorie (mit Literaturangaben).

Literatur: Zur weiteren Vertiefung siehe die Literaturangaben beim Schwerpunktstichwort   Produktions- und Kostentheorie. (Wirtschaftsmathematik)    Funktion, die die produzierte Menge x eines Gutes in Abhängigkeit von einem oder mehreren Inputfaktoren ausdrückt: x = x(r) bzw. x = x(ri,r2,...,rn). Sehr verbreitete Modelle sind die Produktionsfunktionen nach   Cobb-Douglas (z.B. bei zwei Inputfaktoren x(ri,r2) = criar21-a Mit 0 < a < 1) und ertragsgesetzliche Produktionsfunktionen (spezielle Polynome dritten Grades).

der funktionale Zusammenhang zwischen Input und Output . Produziert die Unternehmung nur einen Output, dann kann man die P. wie folgt definieren: f (x) = {y in R: y ist der maximale Output, der mit x in Y erreichbar ist} Die P. lassen sich hinsichtlich ihrer Eigenschaften unterscheiden: Monotonie: P. mit monotonen Input-Mengen (Input) unterstellen kostenlose Beseitigung. Eindeutigkeit: Hinsichtlich der Funktionswerte unterscheidet man eindeutige, nichteindeutige und eineindeutige P. Stetigkeit: Nach der stetigen Teilbarkeit der Inputs unterscheidet man stetige P. und nicht-stetige P. Substitutionalität: Nach der Substituierbarkeit der Inputs unterscheidet man substitutionale Produktionsfunktion und nichtsubstitutionale (= limitationale) P.  Homogenität : Nach der Eigenschaft f (lx1, lx2) = lr f (x1, x2) = lr y (Homogenitätskriterium) und je nachdem, ob der Homogenitätsgrad r größer, gleich oder kleiner als 1 ist, unterscheidet man: überlinear-, linear- und unterlinear-homogene P.  Substitutionselastizität (Elastizitäten): Bei Konstanz der Substitutionselastizität spricht man von CES-Produktionsfunktion , bei Variabilität von VES-P. Ist sie Null, liegt eine limitationale Produktionsfunktion vor. Ein Spezialfall ist die Leontief -Produktionsfunktion: Ihre Substitutions  elastizität beträgt 0, aber ihr Homogenitätsgrad ist 1; sie ist also eine linear-limitationale P.  Skalenerträge : Konstante Skalenerträge weist die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion auf, andere neoklassische P. haben abnehmende, aber positive Skalenerträge (andere CES-P., VES-P.). Es gibt noch eine Reihe anderer P., deren Bezeichnung zum Teil selbsterklärend ist: Einprozeß-P., Mehrprozeß-P . Die klassische P. ist durch den ertragsgesetzlichen Verlauf bei partieller Faktorvariation gekennzeichnet. In der Betriebswirtschaftslehre haben insbesondere die Gutenbergschen P. und deren Weiterentwicklungen Bedeutung erlangt: Die P. vom Typ A entspricht der klassischen P. Die P. vom Typ B berücksichtigt neben der unmittelbaren Input-Outputbeziehung auch mittelbare Beziehungen, sog. Potentialfaktoren, die durch Verbrauchsfunktionen erfaßt werden. Die P. vom Typ C wurde von Heinen entwickelt: Sie berücksichtigt neben den Potentialfaktoren sog. Repetierfaktoren, für die eine ökonomische Verbrauchsfunktion in Abhängigkeit von der Kombinationszeit ermittelt wird. Aus der Klasse der CES-P., also der P. mit konstanter Substitutionselastizität, zu denen auch die Cobb-Douglas-P. gehört, ist noch besonders zu erwähnen die ACMS - Produktionsfunktion (genannt nach Arrow, Chenery, Minhas, Solow): Auch sie ist durch konstante Substitutionselastizität gekennzeichnet, aber im Gegensatz zur Cobb-Douglas-P., deren Substitutionselastizität eins beträgt, ist diese bei der ACMS-P. größer als
1. Aus der Klasse der VES-P. sollen noch besonders erwähnt werden: Die Sato-Hoffman-P., bei der die variable Substitutionselastizität linear von der Kapital intensität abhängt, bei der Revankar-Wolkowitz-Produktionsfunktion hängt die Substitutionselastizität vom reziproken Wert der Kapitalintensität ab.  Homothetische Produktionsfunktion sind dadurch charakterisiert, daß f (x) als h (g (x)) geschrieben werden kann, wobei h monoton ist und g homogen vom Grade eins. Zu solchen homothetischen P. zählen verallgemeinerte P. wie die Revankar- Zellner-P., für die die Substitutionselastizität mit einer homogenen Funktion f (A, K) sowie davon unabhängig eine Funktion der Skalenelastizität c in Abhängigkeit von der Ausbringung gegeben ist:             c = h(X)                      . Zur P. des Haushalts s. abgeleitete Nachfrage,
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