Likelihood(-Funktion)

Ist f(x, Q) die Dichtefunktion der stetigen Zufallsvariablen X, wobei Q ein unbekannter Parameter (-vektor) ist, der die Gestalt der Dichtefunktion bestimmt, und wird aus der Grundgesamtheit mit dieser Verteilung eine einfache Zufallsstichprobe vom Umfang n gezogen, dann ist die Wahrscheinlichkeit für eine (konkrete) Stichprobe (x1, x2, ..., xn) in Abhängigkeit von Q gegeben durch die L.:          L = L(Q|x1, ..., xn) = F(x1; Q) * f(x2; Q) *...* F(xn; Q) =         


L ist durch die Dichtefunktionen der n-dimensionalen Zufallsvariablen (X1, ..., Xn) bestimmt, darf jedoch selbst nicht als Dichtefunktion aufgefaßt werden: Die L. ist zwar die Wahrscheinlichkeit für eine Realisation x1, ..., xn der Zufallsvariablen  bezüglich alternativer Werte des Parameters Q, nicht jedoch eine Wahrscheinlichkeit für einen Parameter Q unter der Bedingung eines bestimmten Wertes x1, ..., xn. Entsprechend ist die L. einer diskreten Zufallsvariablen X definiert durch          L = L(Q|x1, ..., xn) = P(X1 = x1 | Q) =         


       mit P(Xi = xi) = Wert der Wahrscheinlichkeitsfunktion an der Stelle Xi = xi. Die Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung dürfen nicht auf L. angewandt werden, da sich ihre Werte für verschiedene Werte von Q nicht zu Eins ergänzen. Von grundlegender Bedeutung ist die L. für die Maximum -Likelihood-Methode zur Parameterschätzung.