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Durch Substitution von n in (1) erhält man:
(2)
Aufgrund des unterstellten kontinuierlichen Lagerabgangs in
Höhe der Bedarfsrate b ergibt sich eine lineare Lagerbestandsfunktion. Zu jedem
Lieferzeitpunkt erfolgt eine Auffüllung des soeben auf einen Bestand von null
gesunkenen Lagerbestands bis auf die maximale Lagermenge, die exakt der
Losgröße entspricht. Somit kann der Lagerbestand im Zeitablauf auf einfache
Weise bestimmt werden: Er entspricht im Durchschnitt der Hälfte des maximalen
Lagerbestands. Die Funktion der Lagerhaltungskosten in Abhängigkeit von der
Losgröße lautet:
(3)
Die zu minimierende Zielfunktion der Gesamtkosten setzt sich
aus (2) und (3) zusammen:
K(x) = KL(x) + KR(x) ⇒ min! (4)
Als notwendige Bedingung für ein Minimum ergibt sich:
(5)
Hieraus kann die Aussage abgeleitet werden, dass sich die
Steigungen der Funktionen der losfixen Kosten und der Lagerhaltungskosten im
Optimum betragsmäßig entsprechen müssen:
(6a)
(6b)
Werden ausschließlich entscheidungsrelevante Kosten in die
Zielfunktion aufgenommen, so liegt im Optimum auch Gleichheit von
Lagerhaltungskosten und losfixen Kosten vor, wie durch Multiplikation von (6b)
mit der Losgrößenvariable x nachvollzogen werden kann.
Durch Umformung von (6b) kann die optimale Losgrößenformel
entwickelt werden:
(7)
Die hinreichende Bedingung für ein Minimum ist erfüllt, da
alle Größen in dieser Bedingung nicht negativ sein müssen:
(8)
Es wird deutlich, dass die optimale Losgröße ohne Kenntnis
der Länge des Planungszeitraums ermittelt werden kann. Übersteigt jedoch xopt den Wert b · T, so wäre der Gesamtbedarf im
Planungszeitraum die optimale Losgröße. Unter praktischen Gegebenheiten ist bei
der Umsetzung einer in dieser Weise ermittelten Losgröße zu beachten, dass sich
sowohl für die Losgröße als auch für die Anzahl der Lose im Planungszeitraum
nicht ganzzahlige Größen ergeben können. Insofern wäre die Losgröße auf eine
liefer- bzw. produzierbare Anzahl Mengeneinheiten festzulegen, wobei für die
beiden direkt benachbarten ganzzahligen Werte ein Kostenvergleich durchzuführen
wäre. Dabei kann ein Aufrunden der Losgröße aufgrund des flacheren
Zielfunktionsverlaufs für zunehmende Stückzahlen auch dann vorteilhaft sein,
wenn das ermittelte xopt näher an der
benachbarten, kleineren ganzzahligen Losgröße liegt. Ein entsprechender
Kostenvergleich ist auch für die beiden benachbarten ganzzahligen
Losauflagehäufigkeiten durchzuführen, sofern nicht angenommen werden kann, dass
die Parameter auch für folgende Planungszeiträume Gültigkeit besitzen und der
Planungszeitraum theoretisch als unendlich angenommen werden kann.
Abb. 1: Typischer Kostenfunktionsverlauf beim statischen
Losgrößenmodell
IV. Einstufige
Losgrößenmodelle mit endlicher Lagerauffüllgeschwindigkeit
Die Annahme einer unendlichen Lagerauffüllgeschwindigkeit ist
nur dann haltbar, wenn die für die Auffüllung des Lagers erforderliche Zeit in
Relation zur Verbrauchszeit eines Loses vernachlässigbar gering ist. Während
dies für die Beschaffungslosgrößenplanung in vielen Fällen gerechtfertigt
erscheint, dürfte diese Situation für die Planung der Fertigungslosgröße eher
eine Ausnahme darstellen. Im Folgenden sei angenommen, dass auf einer Produktionsanlage
je [ZE] xp [ME] einer betrachteten Erzeugnisart gefertigt
werden können und die Lagerentnahmerate dieser Erzeugnisart xv [ME/ZE]
beträgt. Des Weiteren soll davon ausgegangen werden, dass eine offene
Produktion vorliegt, d.h. erzeugte Güter sofort dem Lager zwecks Verkauf oder
Weiterverarbeitung entnommen werden können. Für xp > xv wird die vorübergehende Einstellung der
Fertigung der betrachteten Produktart auf der Anlage erforderlich, um den
Lagerbestand nicht zu stark anwachsen zu lassen. Diesen, als Staulager
bezeichneten, Fall zeigt Abb. 2.
Abb. 2: Staulager bei offener Produktion
Während der Produktionsdauer tp des Loses erfolgt bereits ein Lagerabbau,
wobei zwecks einfacherer Formulierung des Problems unterstellt wird, dass eine
Lagerentnahme bereits erfolgen kann, während die erste Einheit noch produziert
wird. Die Losmenge x wird innerhalb von tv [ZE] verbraucht, womit für die betrachtete
Anlage eine verfügbare Restzeit – innerhalb derer u.a. andere Sorten gefertigt
werden können – von tf = tv – tp [ZE]
verbleibt. Der durchschnittliche Lagerbestand entspricht der Hälfte des
maximalen Bestandes Lmax, der u.a. mittels der Beziehung tp · (xp – xv) ermittelt
werden kann. Da tp · xp = x und
damit tp = x/xp gilt, kann der durchschnittliche Lagerbestand
Ld beschrieben werden durch:
(9)
Der Gesamtbedarf B im Planungszeitraum T entspricht xv · T. Bei verkürzter Schreibweise mit cL = (kL + z · w)
sind die zu minimierenden entscheidungsrelevanten Kosten:
(10)
Nach Differentiation und Nullsetzen der ersten Ableitung
sowie Umformung ergibt sich die Losgrößenformel für den Fall eines Staulagers
mit offener Produktion:
(11)
Mit Kenntnis der optimalen Losgröße xopt können die weiteren interessierenden Größen
bestimmt werden:
Alternativ kann die Zielfunktion in Abhängigkeit einer dieser
Größen formuliert und die optimale Losgröße so indirekt bestimmt werden. Die
optimale verfügbare Restzeit der Fertigungsstufe vor dem betrachteten Lager
beträgt tf,opt = tv,opt – tp,opt; die
Folgestufe arbeitet bzw. der Absatz erfolgt permanent.
Ist entgegen der bisherigen Annahme die Lagerentnahmerate
größer als die Produktionsrate (xv > xp), so müsste
die betrachtete Produktionsstufe permanent arbeiten, um die jeweils
unterbrechungsfreie Einstellung der einzelnen Lose auf der Folgestufe zu
ermöglichen. Vor Auflegen eines Loses auf der Folgestufe müsste also bereits
ein gewisser Lagerbestand gefertigt worden sein. Diese als Zerreißlager
bezeichnete Situation ist in Abb. 3 skizziert, wobei tf hier die verfügbare Restzeit der Folgestufe
angibt.
Abb. 3: Zerreißlager bei offener Produktion
Der durchschnittliche Lagerbestand ergibt sich in diesem Fall
u.a. über die Beziehung:
(12)
Wie ein Vergleich von (12) und (9) zeigt, unterscheiden sich
der durchschnittliche Lagerbestand und damit die Lagerhaltungskostenfunktion
von Zerreiß- und Staulagerfall lediglich darin, dass im Multiplikator für die
Losgröße x im Quotienten eine Vertauschung von Zähler und Nenner stattgefunden
hat, sodass die kleinere Geschwindigkeit – hier xp, vorher xv – im Zähler steht. Da die Rüstkosten gegenüber
dem Staulagerfall unverändert bleiben, ergibt sich als optimale
Losgrößenformel:
(13)
Offensichtlich unterscheiden sich (11) und (13) lediglich
dadurch, dass die Variablen xp und xv jeweils gegeneinander ausgetauscht sind. Durch
Erweitern von (11) mit 1/xv und (13) mit 1/xp wird deutlich, dass eine gemeinsame Formel für
die optimale Losgröße bei offener Produktion im Stau- und im Zerreißlagerfall
verwendet werden kann:
(14)
Ist ein Los auf einer betrachteten Produktionsstufe erst
vollständig fertig zu stellen, bevor es abgesetzt oder weiterverarbeitet werden
kann (geschlossene Fertigung), so wird zunächst während der Produktionszeit tp das gesamte Los produziert, sodass sich ein
maximaler Lagerbestand in Höhe von x ergibt, unabhängig davon, ob es sich um
ein Stau- oder Zerreißlager handelt. Anschließend wird das Los während der
Verbrauchszeit tv vollständig dem Lager entnommen. Die Liegezeit
des durchschnittlichen Lagerbestandes Lmax/2 = x/2 beträgt somit – unabhängig
vom Lagertyp – je Los tp + tv = x/xp + x/xv. Die Anzahl Lose im Planungszeitraum
ist n = B/x, sodass die Kostenfunktion lautet:
(15)
Die hieraus abzuleitende Formel für die optimale Losgröße bei
geschlossener Fertigung lautet:
(16)
V. Mehrstufige
Modelle
Für mehrstufige Produktionsprozesse ist die isoliert für
einzelne Fertigungsstufen vorgenommene Ermittlung von Losgrößen im Rahmen der
Modellannahmen nicht sinnvoll, da unterschiedliche Losgrößen lediglich
zusätzliche Lagerbestände vor solchen Stufen verursachen, für die
vergleichsweise geringere Losgrößen bestimmt wurden. Bei der Bestimmung einer
gemeinsamen, für alle Produktionsstufen geltenden Losgröße für eine betrachtete
Erzeugnisart ist zu berücksichtigen, dass in Fertigungsstufen, die schneller
als die langsamste Stufe arbeiten bzw. die mit einer größeren Geschwindigkeit
als der Absatzrate produzieren, bei optimaler Fertigung zeitweise keine
Zwischenlagerbestände vorhanden sind. Abb.
4 verdeutlicht diese Situation anhand des Beispiels einer zweistufigen
Fertigung mit Zwischenprodukt-Zerreißlager und Fertigprodukt-Staulager.
Abb. 4: Zweistufige Fertigung mit
Zwischenprodukt-Zerreißlager und Fertigprodukt-Staulager
Aufgrund der Tatsache, dass u.U. in den Lagern der
Fertigungsstufen zeitweise keine Bestände an einer Erzeugnisart vorhanden sind,
kann der durchschnittliche Lagerbestand eines Loses nicht als repräsentativ für
den Gesamtplanungszeitraum angenommen werden. Stattdessen ist der Durchschnittsbestand
je Los mit der Anzahl Lose im Planungszeitraum zu multiplizieren. Die
Stufenleistungen der S Stufen seien im Folgenden mit xp,s und die Absatzrate mit xp,S+1 bezeichnet. Die Rüstkosten je Stufe kR,s sind zu beachten sowie der stufenbezogene
Lagerhaltungskostensatz cL,s. Für das Beispiel der Abb.
4 lautet dann die Funktion der losweisen Lagerhaltungskosten LKs im Zwischenlager (s = 1):
(17)
Die Lagerhaltungskostenfunktion KL,s im Planungszeitraum für dieses Lager ergibt
sich nach Multiplikation von LKs mit der
Auflagehäufigkeit n = B/x. Nach Ersetzen von tp,s durch x/xp,s und anschließendem Vereinfachen ergibt sich:
(18)
Für S Fertigungsstufen, einschließlich der Endproduktstufe,
sind die Lagerhaltungs- und Rüstkosten zu minimieren, wobei für synchronisierte
Fertigungsstufen keine Lagerbestände und damit keine Lagerhaltungskosten
anfallen, wohingegen die Rüstkosten aller Stufen zu berücksichtigen sind. Da
sowohl Stau- als auch Zerreißlager auftreten können, ist jeweils der Betrag der
Differenzen aus den Kehrwerten der Stufenleistungen anzusetzen:
(19)
Wie aus (14) und (16) zu ersehen ist, kann für die beiden
Lager- und Produktionstypen die folgende, gemeinsame Formel zur Ermittlung der
optimalen Losgröße einer Erzeugnisart bei mehrstufiger Fertigung angegeben
werden:
(20)
VI. Simultanplanung
von Losmenge und Lossequenz
Stellt eine Unternehmung mehrere Produktarten her, so ist in
der Durchführungsplanung sicherzustellen, dass zulässige Belegungspläne für die
Fertigungseinrichtungen vorliegen. Da bei einer für jede Erzeugnisart
isolierten Losgrößenplanung überschneidungsfreie Belegungspläne nur zufällig
entstehen, wären die Losgrößen und die Reihenfolge der Losbearbeitung auf den
Anlagen simultan zu planen. Dieses komplexe Problem kann bei Betrachtung nur
einer Stufe sowie bei Unterstellen von Rüstzeiten bzw. -kosten, die unabhängig
von der Losreihenfolge sind, auf die folgende Weise einer Lösung näher gebracht
werden.
Die Zulässigkeit eines Belegungsplanes für eine Anlage kann
gewährleistet werden, wenn die Gesamtkapazität der betrachteten Stufe unter
Berücksichtigung der Rüstzeiten für die Bearbeitung aller Aufträge ausreichend
ist und die Losauflagehäufigkeit für alle Sorten identisch ist (Adam, D.
1965; Adam, D.
1990). Kostengünstigere, aber nicht zwangsläufig zulässige Lösungen können sich
ergeben, wenn die Auflagehäufigkeit einer Sorte ein ganzzahliges Vielfaches
einer anderen Sorte betragen soll. Neben der zu minimierenden Zielfunktion, die
die Kosten aller Erzeugnisarten summiert, treten dann Nebenbedingungen der Art:
Dieses Problem kann mittels der Lagrangeschen
Multiplikatorenmethode einer Lösung zugeführt werden. Ein vereinfachter Ansatz
ergibt sich, sofern gefordert wird, dass die Lose aller I Erzeugnisarten gleich
häufig aufzulegen sind (vgl. Adam, D.
1990); Bloech, J.
et al. 2004). In diesem Fall kann die Zielfunktion über die für alle
Produktarten gemeinsame Auflagehäufigkeit n definiert werden, wobei hier ein
Staulager mit offener Produktion unterstellt wurde:
(21)
Die notwendige Bedingung für ein Minimum lautet:
(22)
Als – im Rahmen dieser Problemformulierung – optimale
Losauflagehäufigkeit für alle Produktarten ergibt sich:
(23)
Damit lauten die »optimalen« Losgrößen
xi.opt = Bi/nopt für i = 1, ?, I.
Dieser Ansatz lässt sich für den Fall abwandeln, dass eine
Losgrößenplanung für Teilefamilien durchgeführt werden soll (Adam, D.
2001). Dabei fallen für eine Anzahl M an Produktarten, die unter
fertigungstechnischen Aspekten zu einer Teilefamilie zusammengefasst wurden und
die beispielsweise mittels flexibler
Fertigungstechniken unter Einsatz eines automatischen Werkzeugmagazins
hergestellt werden können, für die Auflage einer nahezu beliebigen – lediglich
durch technische und organisatorische Restriktionen eingeschränkten – Anzahl
Lose der Teilefamilie lediglich einmalig Rüstkosten an. Wird vorausgesetzt,
dass jede Produktart innerhalb einer Teilefamilie gleich häufig aufgelegt
werden soll, so lautet die Kostenfunktion Kt für die Teilefamilie t in Abhängigkeit von der
Auflagehäufigkeit nt im Falle eines
Staulagers bei offener Produktion:
(24)
Als optimale Auflagehäufigkeit der Teilefamilie ergibt sich
unter den gemachten Annahmen:
(25)
Existieren mehrere Möglichkeiten zur Bildung von
Teilefamilien, so ist diese Entscheidung unter Beachtung der anfallenden Kosten
zu fällen, die von den sich ergebenden Losgrößen für die Produktarten der
Teilefamilien abhängen.
VII. Kapazitätsbeschränkungen
in Losgrößenmodellen
In der betrieblichen Realität sind aufgrund beschränkter
Kapazitäten Restriktionen bei der Planung der Losgrößen der einzelnen
Erzeugnisarten zu berücksichtigen. Diese können sich zum einen auf die
Fertigungskapazität beziehen, zum anderen können Beschränkungen hinsichtlich
logistischer sowie finanzieller Kapazitäten auftreten. Im Folgenden wird vom
Lossequenzproblem wieder abstrahiert.
1. Lagerrestriktionen im einstufigen
Mehrproduktartenmodell
Da die Formulierung von Restriktionen bezüglich verfügbarer
Finanzmittel, interner und externer logistischer Handling- und
Transportkapazitäten sowie hinsichtlich der Planungskapazitäten (Disposition)
im statischen Modellansatz auf nur teilweise zufrieden stellende Weise möglich
ist (Bogaschewsky,
R. 1989), sollen hier lediglich Beschränkungen der verfügbaren
Lagerkapazität aufgegriffen werden.
Benötigt jede gelagerte Mengeneinheit einer Erzeugnisart i
für ihre Lagerung ai Raumeinheiten [RE] und
stehen im Planungszeitraum jederzeit LKap [RE] zur Verfügung, so kann die
Lagerrestriktion im Falle eines Staulagers bei offener Produktion wie folgt
formuliert werden:
(26)
Existieren zu Beginn des Planungszeitraums keine Lagerbestände
für die I Produktarten, so wäre durch Einstellen von a = 1 sicherzustellen,
dass alle – in diesem Fall auf unterschiedlichen Anlagen parallel zu
fertigenden – Produktarten gelagert werden können. Da bei einer Sorten- oder
Serienfertigung die Lose nacheinander hergestellt werden, kann a kleiner
gewählt werden, wobei zu geringe Werte für a zu Kapazitätsverletzungen führen
können, während zu große Werte tendenziell dazu führen, dass die verfügbare
Kapazität nicht ausgelastet wird. Reicht die Kapazität für die optimalen
Losgrößen ohne Berücksichtigung der Lagerrestriktion nicht aus, so kann das
Optimierungsproblem unter Berücksichtigung der Lagerkapazitätsrestriktion als
Lagrange-Ansatz – mit XT = (x1, x2, ?, xI) – wie folgt
formuliert werden:
(27)
Wird die partielle Ableitung nach dem Lagrangeschen
Multiplikator λ gleich null gesetzt, ergibt sich die Lagerbeschränkung als
Gleichheitsrestriktion. Diese Formulierungsweise ist nur dann korrekt, wenn das
unbeschränkte Optimum die Lagerrestriktion verletzt. Die partiellen Ableitungen
nach den Losgrößenvariablen xi lauten:
(28)
Als im Rahmen dieses Modellansatzes optimale restringierte
Losgrößen ergeben sich:
(29)
2. Beschränkte Fertigungskapazität im
einstufigen Mehrproduktartenmodell
Wird die Fertigungskapazität FKap in [ZE] bezogen auf den Planungszeitraum T
gemessen, so stellt diese einen Engpass dar, sobald die Summe der reinen
Bearbeitungszeiten TB,i auf einer betrachteten
Anlage für die – durch die Programmplanung vorab determinierten – Gesamtbedarfe
der Erzeugnisarten i zuzüglich der anfallenden Rüstzeiten TR,i größer ist als Fkap. Somit kann die folgende
Nebenbedingung für die Losgrößenbestimmung formuliert werden:
(30)
Da die Summe der reinen Bearbeitungszeiten im Rahmen der Losgrößenplanung
nicht zur Disposition steht, ist für den Fall, dass die Fertigungskapazität zur
Herstellung der optimalen Losgrößen nicht ausreicht, die Summe der Rüstzeiten
derart zu reduzieren und damit die Losgrößen zu erhöhen, dass die
Fertigungskapazität eingehalten wird. Bei Bezeichnung der hier als
reihenfolgeunabhängig angenommenen Rüstzeit je Losauflage für die Produktart i
mit tR,i ergibt sich die gesamte Rüstzeit für eine
Erzeugnisart aus:
Die zu minimierenden erzeugnisspezifischen Kostenfunktionen
in Abhängigkeit von den Rüstzeiten im Planungszeitraum lauten für ein Staulager
bei offener Produktion (Adam, D.
1990, Adam, D.
2001):
(31)
Als notwendige Bedingung für das Kostenminimum ergibt sich:
(32)
Unter Ausnutzen der Beziehungen
kann geschrieben werden:
(33)
Dieser Ausdruck entspricht der Differenz von
erzeugnisspezifischen Rüst- und Lagerhaltungskosten je Los bezogen auf die
losweise Rüstdauer. Im beschränkten Optimum entsprechen sich die Grenzkosten
für alle Erzeugnisarten, und die Nebenbedingung ist exakt einzuhalten. Damit
ist das folgende Gleichungssystem zu lösen:
VIII. Reduzierung der
Losgrößen durch Rüstkostensenkung
Das Ziel der Losgröße \'1\' bzw. die extreme Reduzierung der
Lagerhaltungskosten lässt sich nur dann unter
Wirtschaftlichkeitsgesichtspunkten realisieren, wenn die Rüstkosten
entsprechend niedrig sind. Ein solcher Ansatz wurde in der Automobilindustrie
erstmals von der Toyota Motor Corporation umgesetzt, die in ihren Werken die
Umrüstzeiten extrem reduzieren konnte (vgl. Shingo, S.
1993). Damit wurden die Voraussetzungen für eine nahezu bedarfssynchrone
Fertigung – mit sehr geringen Losgrößen, die wiederum kurze Durchlaufzeiten, eine vergleichsweise
hohe Flexibilität und niedrige Kapitalbindungskosten bedingen – geschaffen.
Dies ermöglichte die Installation eines dezentralen, aus selbststeuernden
Regelkreisen bestehenden Fertigungssteuerungssystems, das gemäß dem über Karten
stattfindenden Informationsaustausch als Kanban-System
bezeichnet wurde.
Ist die Reduzierung der Rüstzeiten bzw. der Rüstkosten mit
zusätzlichen Kosten verbunden, so wären diese im Rahmen einer – nicht mehr rein
operativen – Planung in den Entscheidungsansatz einzubeziehen. Wie bei der
Ausgestaltung der Fertigungseinrichtungen oder der logistischen Kapazitäten,
werden durch die in diesem Zusammenhang zu treffenden Entscheidungen
Rahmenbedingungen für die operative Losgrößenplanung gesetzt. Dies erfordert
eine Vorgehensweise, die möglichst alle Folgewirkungen dieser Entscheidungen in
Betracht zieht und die daher nicht ohne weiteres auf die reine Losgrößenplanung
reduziert werden kann. Einen Ansatz, wie die Berücksichtigung des
Kapitaldienstes einer rüstkostensenkend wirkenden Investition im Rahmen der
Losgrößenplanung erfolgen kann, zeigt Adam
(Adam, D.
1990, Adam, D.
2001).
Literatur:
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Hamburg 1965
Adam, D. :
Produktionsdurchführungsplanung, in: Industriebetriebslehre, hrsg. v. Jacob,
H., 4. A., Wiesbaden 1990, S. 673 – 918
Adam, D. : Produktionsmanagement,
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Mehrprodukt-Lagerhaltung mit Standard-Lagerhaltungsmodellen, Rheinfelden 1986
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Bloech, J. : Einführung in die
Produktion, 5. A., Berlin et al. 2004
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